Question

Uma distribuidora tem 12 encomendas para transportar. Essas encomendas, todas com peso diferente, pesam entre 3 e 14 quilos. A empresa precisa acondicionar 6 encomendas em uma única embalagem, de forma que 1 encomenda tenha exatamente 10 quilos, 3, menos de 10 quilos, e as demais, mais que 10 quilos. Quantas embalagens diferentes podem ser feitas com essas encomendas?

Answer 1

• O que é análise combinatória?

É o nome dado ao conjunto de técnicas usadas para se agrupar, em subconjuntos diferentes, um número finito de elementos pertencentes a um conjunto e, através desses subconjuntos, realizar a análise das possibilidades e combinações.

Algumas dessas técnicas são:

•    Fatorial
•    Arranjos simples
•    Combinação
•    Permutação simples
•    Permutação com elementos repetidos

• O que é um fatorial?

Chama-se de fatorial de um número natural n, maior que 1, o produto desse número por todos aqueles menores que ele e maiores que 0, ou seja,

$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times\;...\;\times 3 \times 2 \times 1$

• O que é uma combinação?

É um agrupamento onde os subconjuntos formados se diferenciam uns dos outros apenas pela natureza de seus elementos, não importando a ordem deles dentro do subconjunto.

• Como calcular uma combinação de elementos?

A fórmula para se encontrar as diferentes combinações de um conjunto de elementos é dada por

$C_p^n=\frac{n!}{p!\,.\,(n-p)!}$

onde,

• n é a quantidade de elementos do conjunto
• p é um número menor ou igual a n, que representa o número de elementos em cada combinação

• Resolução do problema

Como a ordem das encomendas dentro da embalagem não importa, podemos usar combinação simples.

Para a encomenda de 10 quilos, temos apenas 1 maneira de embalar.

Com as 7 encomendas menores que 10 quilos (3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos que formar subconjuntos de 3. Logo, o número de maneiras é

$C_3^7=\frac{7!}{3!\,.\,(7-3)!}\\\\C_3^7=\frac{7!}{3!\,.\,4!}\\\\C_3^7=\frac{7\,.\,6\,.\,5\,.\,4!}{3!\,.\,4!}\\\\C_3^7=\frac{7\,.\,6\,.\,5}{3!}\\\\C_3^7=\frac{7\,.\,6\,.\,5}{3\,.\,2\,.\,1}\\\\C_3^7=\frac{7\,.\,6\,.\,5}{6}\\\\C_3^7=7\,.\,\,5\\\\C_3^7=35$

Com as 4 encomendas maiores que 10 quilos (11, 12, 13 e 14), temos que formar subconjuntos de 2. Logo, o número de maneiras é

$C_2^4=\frac{4!}{2!\,.\,(4-2)!}\\\\C_2^4=\frac{4!}{2!\,.\,2!}\\\\C_2^4=\frac{4\,.\,3\,.\,2!}{2!\,.\,2!}\\\\C_2^4=\frac{4\,.\,3}{2!}\\\\C_2^4=\frac{4\,.\,3}{2\,.\,1}\\\\C_2^4=\frac{12}{2}\\\\C_2^4=6$

Assim, o número (n) de embalagens diferentes que podem ser feitas com essas encomendas é de

$\boxed{\boxed{n=1~.~35~.~6=210}}$

• Para saber mais

brainly.com.br/tarefa/24259275