Uma determinada família, constituída por um casal e outras 13 pessoas adultas, decidiu viajar para comemorar as bodas de ouro do casal. Para facilitar a viagem, a família decidiu se dividir, igualmente, em 3 grupos, de forma que o casal viaje, necessariamente, em um mesmo grupo.
A quantidade de formas distintas em que essa família pode dividir-se seguindo a configuração especificada é dada por:
(gabarito D. Opções estão anexas. Dar explicação detalhada).
Soluções para a tarefa
Resposta:
Boa noite,
Basicamente temos 15 pessoas, 1 casal(2) + 13 pessoas.
como ele vai dividir em 3 grupos iguais fazemos
15/3 = 5 pessoas para cada.
considerando o casal como um assento fixo, tendo em vista que estarão sempre juntos, faremos uma combinação só entre as 3 pessoas que ficarão no mesmo grupo que eles.
inicialmente fica uma combinação:
C¹³ . C¹⁰ . C⁵
³ ⁵ ⁵
isso porque serão 13 pessoas para 3 lugares no primeiro grupo, aí passaremos ao próximo com 5 lugares, mas 3 pessoas já foram escolhidas antes, então o total de pessoas diminui.
Mas perceba uma coisa, contamos o grupo que o casal está 2 vezes.
Porque se tenho um grupo A, B e C, por exemplo.
A, B, C = A, C, B
por isso fazemos
1/2! C¹³ . C¹⁰ . C⁵
³ ⁵ ⁵
Resposta:
N = [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)
Resposta correta Opção . D) : [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)
Explicação passo-a-passo:
.
O que sabemos:
=> Temos 1 casal mais 13 pessoas
=> Divisão em 3 grupos (de 5 pessoas)
=> Única restrição: O casal tem de viajar junto no mesmo grupo
O que pretendemos saber:
"..A quantidade de formas distintas em que essa família pode dividir-se.."
RESOLVENDO:
A resolução da primeira parte deste exercício é fácil ´pois o seu grau de dificuldade só vai surgir na fase final da resolução.
Assim, vou "suspender" a resolução no ponto em que vai ser necessário explicar a sua parte final e, sobretudo, explicar a sua razão de ser.
→ Para escolher o 1º grupo (que acompanha o casal) temos o número de possibilidades dado por: C(13,3)
→ Para escolher o 2º grupo temos o número de possibilidades dado por: C(10,5)
→ Para escolher o 3º grupo (com os 5 elementos restantes) temos o número de possibilidades dado por: C(5,5)
Assim, a quantidade (N) de formas distintas em que essa família pode dividir-se, SERIA dada por:
N = C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)
....vamos suspender aqui o desenvolvimento e explicar os passos seguintes
NOTAS IMPORTANTES:
⇒ Quando usamos a "Combinação Simples" para definir CADA GRUPO nós eliminamos as repetições em cada grupo ...MAS ..resta retirar mais uma repetição (vamos ver porquê).
⇒ Em relação ao grupo (de 5 pessoas) formado com o casal obtido por C(13,3) ele é único e irrepetível (só um grupo tem o casal)
..mas a permutação entre as combinações dos restantes grupos [..C(10,5) e C(5,5)..] vai produzir duplicações,
....pois qualquer que seja o grupo encontrado em C(10,5) ele vai ter sempre 1 repetição em C(5,5), concretizando:
Pois se:
C(10,5) resultar (por exemplo) em: João, Carlos, Luis, Maria, José
C(5,5) vai ter (por exemplo): Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita
agora veja que QUALQUER QUE SEJA C(13,3) teremos SEMPRE estas 2 situações:
→ C(13,3) . (João, Carlos, Luis, Maria, José) . (Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita)
e vamos ter também:
→ C(13,3) . (Joana, Carla, Joaquim, Ana, Rita) . (João, Carlos, Luis, Maria, José)
..estas 2 permutações resultam em 2 contagens de 2 grupos iguais ..pois a sua ordem não é importante!
A única forma de retirar esta repetição será dividir por " 2! " a expressão que obtivemos acima, donde resulta a expressão final de (N) dada por:
N = [C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)] / 2!
...o que equivale a
N = [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)
Resposta correta Opção . D) : [1/(2!)] . C(13,3) . C(10,5) . C(5,5)
Espero ter ajudado
Resposta garantida por Manuel272
(colaborador regular do brainly desde Dezembro de 2013)
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