Question

Uma das técnicas utilizadas para realizar a integração de funções é a integral por substituição. Essa técnica é aplicada geralmente para a integração de funções compostas, como é o caso da função h(x) = cos(3x). Sabendo disso e que as primitivas de uma função podem ser obtidas por meio da integração, defina as primitivas da função g(x) = cos(3x) sen(x).

Answer 1

Para encontrar a primitiva de g(x), devemos integrá-la.

$\int\ {g(x)} \, dx = \int\ {cos(3x)sen(x)} \, dx$

Para resolvermos essa integral, deveremos antes, fazer um ajuste, utilizando uma identidade trigonométrica que descreverei abaixo:

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

Vamos somar essas duas equações:

sen(a + b) + sen(a - b) = sen(a)cos(b) + sen(a)cos(b)
sen(a + b) + sen(a - b) = 2[sen(a)cos(b)]
2[sen(a)cos(b)] = sen(a + b) + sen(a - b) 
sen(a)cos(b) = (1/2)[sen(a + b) + sen(a - b) ]

Comparando com a nossa integral:

sen(a)cos(b) = cos(3x) sen(x)

a = x
b = 3x

O que nos garante que

(1/2)[sen(a + b) + sen(a - b) ] = 
(1/2)[sen(x + 3x) + sen(x - 3x) ] =
(1/2)[sen(4x) + sen(-2x) ]

Como sempre vale: sen(-k) = -sen(k), nossa equação fica:

(1/2)[sen(4x) + sen(-2x) ] = (1/2)[sen(4x) - sen(2x) ]

Então, resumindo:

sen(a)cos(b) = cos(3x) sen(x) = (1/2)[sen(4x) - sen(2x) ]

Agora nossa integral fica:

$\int\ {cos(3x)sen(x)} \, dx \\ \\ \int\ { \frac{1}{2}(sen(4x) - sen(2x)) } \, dx$

Lembrando que podemos dividir em duas integrais, pois a integral de uma soma é a soma das integrais (no caso a diferença delas), e que constantes "saem" pra fora da integral, temos:

$\int\ { \frac{1}{2}(sen(4x) - sen(2x)) } \, dx \\ \\ \frac{1}{2} \int\ { (sen(4x) - sen(2x)) } \, dx \\ \\ \frac{1}{2} \int\ { (sen(4x) } \, dx - \frac{1}{2} \int\ { sen(2x)) } \, dx$

Agora sim, usaremos a integração por substituição em cada uma das integrais, substituindo da seguinte forma:

Para a primeira integral:

u = 4x
du = 4 dx

Para a segunda integral:

v = 2x
dv = 2 dx

Então, vamos substituir u e v nas integrais, lembrando que:

du = 4 dx, então deveremos multiplicar dx por (4/4) para que 4dx apareça e possamos substituir por du. O mesmo vale para dv.

$\frac{1}{2} \int\ { sen(4x) } \, dx - \frac{1}{2} \int\ { sen(2x) } \, dx \\ \\ \frac{1}{2} \int\ { sen(4x) } \, ( \frac{4}{4} )dx - \frac{1}{2} \int\ { sen(2x) } \, ( \frac{2}{2} )dx \\ \\ \frac{1}{2} . \frac{1}{4} \int\ { sen(4x) } \, 4dx - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \int\ { sen(2x) } \, 2dx \\ \\ \frac{1}{8} \int\ { sen(4x) } \, 4dx - \frac{1}{4} \int\ { sen(2x) } \, 2dx$

Agora, substituindo u, du, v, dv:

$\frac{1}{8} \int\ { sen(4x) } \, 4dx - \frac{1}{4} \int\ { sen(2x) } \, 2dx \\ \\ \frac{1}{8} \int\ { sen(u) } \, du - \frac{1}{4} \int\ { sen(v) } \, dv$

Integrando...

$\frac{1}{8} \int\ { sen(u) } \, du - \frac{1}{4} \int\ { sen(v) } \, dv \\ \\ \frac{1}{8} . (-cos(u)) - \frac{1}{4} . (-cos(v)) \\ \\ \frac{1}{4}cos(v) - \frac{1}{8}cos(u)$

Como u = 4x e v = 2x temos:

$\frac{1}{4}cos(v) - \frac{1}{8}cos(u) \\ \\ \frac{1}{4}cos(2x) - \frac{1}{8}cos(4x) \\ \\ \frac{1}{8}[2cos(2x) - cos(4x)]$

Espero ter ajudado!!

(não esqueça de eleger a melhor resposta, hehe)