Matemática, perguntado por gabryeladias2016, 4 meses atrás

uma das soluções da equação trigonométrica 3senx= 3 -2cos²x é

Soluções para a tarefa

Respondido por ShinyComet

Resposta: Uma das soluções desta equação é $x=\frac{\pi}{6}$ .

Resolução:

Comecemos por relembrar as Prioridades das Regras Operatórias:

1º - Parênteses

2º - Potências e Raizes

3º - Multiplicações e Divisões

4º - Adições e Subtrações

Lembremos também a Relação Fundamental da Trigonometria:

$\cos^2{x}+\sin^2{x}=1$

Com isto em mente, vamos resolver esta equação.

$3\sin{x}=3-2\cos^2{x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow3\sin{x}=3-2(1-\sin^2{x})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow3\sin{x}=3-2+2\sin^2{x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow3\sin{x}=1+2\sin^2{x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0=1+2\sin^2{x}-3\sin{x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2\sin^2{x}-3\sin{x}+1=0$

A partir daqui, podemos resolver a equação como qualquer outra equação do 2º grau, usando a Fórmula Resolvente.

$\sin{x}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times1}}{2\times2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8\times1}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{3-1}{4}\;\;\;\vee\;\;\;\sin{x}=\dfrac{3+1}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{2}{4}\;\;\;\vee\;\;\;\sin{x}=\dfrac{4}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin{x}=\dfrac{1}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\sin{x}=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad,\;k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\dfrac{6\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad,\;k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad,\;k\in\mathbb{Z}$

Para determinar uma solução, e uma vez que não temos nenhuma restrição ao domínio, basta substituir $k$ por qualquer número inteiro numa das expressões.

Neste caso, vou usar $k=0$ , mas podes usar outro valor se quiseres.

Seja $k=0$ :

$x=\dfrac{\pi}{6}+2\times0\times\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}+2\times0\times\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\dfrac{\pi}{2}+2\times0\times\pi\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\;\;\;\vee\;\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}\;\;\;\vee\;\;\;x=\dfrac{\pi}{2}$

Assim, para $k=0$ , existem 3 soluções: $x=\frac{\pi}{6}\;\;,\;\;x=\frac{5\pi}{6}\;\;\text{e}\;\;x=\frac{\pi}{2}$ .

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Anexos:

proftop398: poderia por favor me ajudar em uma questão

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = A \cup B \cup C\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sendo os conjuntos "A", "B" e "C":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\sin x = 3 - 2\cos^{2} x\end{gathered}$}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x\end{gathered}$}$

Inserindo o valor do quadrado do cosseno na equação original, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}3\sin x & = 3 - 2\cdot(1 - \sin^{2} x) \\3\sin x & = 3 - 2 + 2\sin^{2} x\\-2\sin^{2} x + 3\sin x - 3 + 2 & = 0\\-2\sin^{2}x + 3\sin x - 1 & = 0\end{aligned} $}$

Chegando neste ponto, percebemos uma equação do segundo grau disfarçada. Então, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sin x = k\end{gathered}$}$

Substituindo "k" na equação do segundo grau, , temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}-2k^{2} + 3k - 1 & = 0\end{aligned} $}$

Então, podemos resolver a equação do segundo grau.

$\Large \text {$\begin{aligned}k & = \frac{-3 \pm\sqrt{3^{2} - 4\cdot(-2)\cdot(-1)}}{2\cdot(-2)}\\k & = \frac{-3\pm\sqrt{9 - 8}}{-4}\\k & = \frac{-3\pm\sqrt{1}}{-4}\\k & = \frac{-3\pm1}{-4}\\k &\Longrightarrow \Large\begin{cases} k' = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\\k'' = \frac{-3 - 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1\end{cases}\end{aligned} $}$

Portanto, os possíveis valores de "k", são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k' = 1/2\:\:\:\:e\:\:\:\:k'' = 1\end{gathered}$}$

Desta forma temos os seguintes ângulos:

$\Large\begin{cases} \arcsin'(1) = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}rad\\\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \Large\begin{cases} \arcsin''\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}rad\\\arcsin'''\left(\frac{1}{2}\right) = 150^{\circ} = \frac{5\pi}{6}rad\end{cases}\end{cases}$

✅ Então, temos os seguintes conjuntos formados por todos os arcos côngruos aos ângulos de medidas 30°, 90° e 150°, que são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C = \left\{x \in\mathbb{R}\:|\:x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\:\forall x \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

✅ Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = A \cup B \cup C\end{gathered}$}$