Question

Uma das raízes do polinômio x³ + 2x² − 7x − 2=0 é 2. O produto das outras raízes é aproximadamente: * 0 pontos a) 2. b) 1. c) 0. d) -1. e) -2

Answer 1

Resposta: alternativa b).

Veja que é possível fatorar o polinômio por agrupamento:

$x^3+2x^2-7x-2=0$ ⇒ reescreva os dois termos centrais de modo a obter uma combinação perfeita para coloca o fator comum em evidência.

$x^3-2x^2+4x^2-8x+x-2=0$

$x^2(x-2)+4x(x-2)+(x-2)=0$

$\underbrace{(x-2)}_{x_1\,=\,2}(x^2+4x+1)=0$

Uma das raízes do polinômio é igual 2 pela consequência de x – 2 = 0, então as outras raízes podem ser encontradas calculando-se as raízes da equação x² + 4x + 1 = 0:

$x^2+4x+1=0$ ⇒ reescreva o termo independente de modo a obter um trinômio quadrado perfeito.

$x^2+4x+4-3=0$

$x^2+2\cdot x\cdot2+2^2-3=0$

$(x+2)^2-3=0$

$(x+2)^2=3$ ⇒ extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

$|x+2|=\sqrt{3}$

$x+2=\pm\,\sqrt{3}$

$x+2=\sqrt{3}~\vee~x+2=-\,\sqrt{3}$

$x-\sqrt{3}+2=0~\vee~x+\sqrt{3}+2=0$

$\big(x-\sqrt{3}+2\big)\big(x+\sqrt{3}+2\big)=0$ ⇒ forma fatorada do polinômio x² + 4x + 1 = 0.

Assim:

$\underbrace{(x-2)}_{x_1\,=\,2}\underbrace{\big(x-\sqrt{3}+2\big)\big(x+\sqrt{3}+2\big)}_{x_2\,=\,\sqrt{3}\,-\,2~\vee~x_3\,=\,-\,\sqrt{3}\,-\,2}=0$

Observe que a questão cita a raiz ''2'' e depois pede o produto das ''outras raízes'', ou seja, ela quer saber o produto entre x₂ e x₃, logo:

$x_2x_3=\big(\sqrt{3}-2\big)\big(-\sqrt{3}-2\big)$

$x_2x_3=2^2-\big(\sqrt{3}\big)^2$

$x_2x_3=4-3$

$\boxed{x_2x_3=1}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.