Question

Uma das raízes de 2x3-(m+3)x2+11x-m=0 é 1.Quais são as outras raizes dessa equação?

Answer 1

$\sf 2x^3-(m-3)x^2+11x-m = 0$

se 1 é raiz, então ao substituir x por 1 o polinomio zera. Ou seja :

$\sf 2\cdot 1^3-(m+3)\cdot 1^2+11\cdot 1-m = 0\\\\ 2-m-3+11-m = 0 \\\\ -2m+10 = 0 \\\\ 2m = 10 \\\\ m = 5 \\\\ Da{\'i}}}\ o \ polinomio\ {\'e}}\ da \ forma: \\\\ 2x^3-(5+3)x^2+11x-5 = 0 \\\\ 2x^3-8x^2+11-5=0$

Para encontrar as outras raiz, basta fatorar. já que x = 1 é raiz então x-1 divide o polinomio. vamos manipular a expressão de forme que dê para evidenciar x-1:

$\displaystyle \sf 2x^3-8x^2+11x-5=0\\\\ 2x^3-2x^2-6x^2+6x+5x-5=0 \\\\ 2x^2(x-1)-6x(x-1)+5(x-1)= 0 \\\\ (x-1)\cdot(2x^2-6x+5) = 0 \\\\ \underline{ ra{\'i}zes}}:\\\\ x-1 = 0 \to x = 1 \\\\ 2x^2-6x+5=0 \\\\ x = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 2\cdot5}}{2\cdot 2}\\\\\\ x= \frac{6\pm\sqrt{36-40}}{4} \to x =\frac{6\pm\sqrt{-4}}{4}\\\\\\ x =\frac{6\pm2i}{4} \to x= \frac{3\pm i }{2}$

Portanto as outras raízes  são :

$\boxed{\displaystyle \sf x = \frac{3+i}{2} \ \ ;\ \ x = \frac{3-i}{2} \ } \checkmark$