Question

Uma das raízes da equação x³ - x² - 17 x - 15 = 0 é - 3.

Quais são as outras raízes?


Escolha uma:
a. - 5 e 1
b. 1 e - 4
c. 5 e - 1
d. 3 e 4

Answer 1

Temos a seguinte equação de terceiro grau:

$x {}^{3} - x {}^{2} - 17x - 15 = 0$

A questão nos diz que uma das raízes dessa função é -3, então já temos uma boa parte do caminho andado, pois sabendo uma raiz é possível usar o dispositivo Briot-ruffini para que possamos "encontrar" as outras duas raízes.

• O método de Briot-ruffini consiste em um seguinte esquema:

$\begin{array}{c|c} \text {r}& \text a & \text b& \text c& \cdots & n\\ & \text a& \text{ a.r + b}& \text{(a.r + b).r + c}& \cdots& \text{((a.r + b).r + c).r + n}\end{array}$

E assim prossegue o cálculo, senos que r = raiz e a,b,c e n são os coeficientes da equação, ou seja, os números que se encontram a frente de cada letra. Dispondo os dados nos seus locais:

$x {}^{3} - x {}^{2} - 17x - 15 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \begin{array}{c|c} - 3&1& - 1& - 17& - 15 \\ &\underbrace{1}_{grau \: 2}&\underbrace{ - 4}_{grau \: 1}&\underbrace{ - 5}_{grau \: 0}&\underbrace{0}_{resto}&&\end{array} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ quociente = x {}^{2} - 4x - 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só resolver essa equação do segundo grau formada no quociente:

$x {}^{2} - 4x - 5 = 0 \\ \begin{cases}a = 1 \\ b = - 4 \\ c = - 5 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ x = \frac{4 \pm \sqrt{( - 4) {}^{2} - 4.(1).( - 5)} }{2.1} \\ \\ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ x = \frac{4 \pm 6}{2} \to \begin{cases}x_1 = 5 \\ x_ 2 = - 1\end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Resposta: Letra c).

Espero ter ajudado