Question

Uma das raízes da equação x^4 - 20x^2 + k = 0 vale -4. Calcule as demais raízes.

Answer 1

Resposta:

$\mathrm{S}=\{-4,\,-2,\,2,\,4\}$

Explicação passo-a-passo:

Como uma das raízes vale -4, então podemos substituir x por -4, encontrando o valor de K e, por fim, determinando as outras 3 raízes.

${( - 4)}^{4} - 20. {( - 4)}^{2} + k = 0 \\ 256 - 20.16 + k = 0 \\ 256 - 320 + k = 0 \\ k = 320 - 256 \\ k = 64$

Agora, a equação fica:

${x}^{4} - 20 {x}^{2} + 64 = 0 \\ {( {x}^{2}) }^{2} - 20 {x}^{2} + 64 = 0$

Se x² = y, então temos:

${y}^{2} - 20y + 64 = 0$

$\Delta=b^{2}-4ac \\ \Delta=(-20)^{2}-4.1.64 \\ \Delta=400-256 \\ \boxed{\Delta=144}$

$y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \\ y=\dfrac{20\pm12}{2} \\ y_1=\dfrac{20+12}{2}=\dfrac{32}{2}=16 \\ \\ y_2=\dfrac{20-12}{2}=\dfrac{8}{2}=4$

Retomando x² = y, temos:

$x^{2}=y_1 \Rightarrow x^{2}=16 \Rightarrow x=\pm\sqrt{16} \\ \boxed{x_1=4} \\ \boxed{x_2=-4} \\ \\ x^{2}=y_2 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4} \\ \boxed{x_3=2} \\ \boxed{x_4=-2}$