Question

Uma das raízes da equação (tg(x)-1)(√2cos(x)-1=0 é π/3 por que? Podem me explicar passo a passo pf

Answer 1

Resposta: Uma das possíveis raízes da segunda possibilidade de escrita $([tg(x) - 1]\sqrt{2cos(x)-1}=0)$ é $x=\frac{\pi}{3}$. Assim sendo, a alternativa B) está correta.

Explicação passo-a-passo:

Primeira Possibilidade

A equação trigonométrica é dada por $[tg(x)-1][\sqrt{2}cos(x)-1]=0$, com isso vamos à obtenção de suas raízes:

$[tg(x)-1][\sqrt{2}cos(x)-1]=0$  ⇒

$tg(x) -1=0\ \ (i)$  ou  $\sqrt{2}cos(x)-1=0\ \ (ii)$

De $(i)$ temos:

$tg(x) - 1=0$  ⇒

$tg(x)=1$  ⇒

$tg(x) = tg(\frac{\pi}{4})$  ⇒

$x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\ \ inteiro$ *

De $(ii)$ temos:

$\sqrt{2}cos(x)-1=0$  ⇒

$\sqrt{2}cos(x)=1$  ⇒

$cos(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$  ⇒

$cos(x)=cos(\frac{\pi}{4})$  ⇒

$x = +-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\ \ inteiro$ **

É claramente perceptível que, da maneira que foi digitada, as expressões * e ** não fornecerão nenhuma raiz que seja compatível com as alternativas propostas.

Segunda Possibilidade

A equação trigonométrica é dada por $[tg(x) - 1]\sqrt{2cos(x)-1}=0$, com isso vamos à obtenção de suas raízes:

$[tg(x)-1]\sqrt{2cos(x)-1}=0$  ⇒

$tg(x) -1=0\ \ (i)$  ou  $\sqrt{2cos(x)-1}=0\ \ (ii)$

De $(i)$ temos:

$tg(x) - 1=0$  ⇒

$tg(x)=1$  ⇒

$tg(x) = tg(\frac{\pi}{4})$  ⇒

$x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\ \ inteiro$ ***

De $(ii)$ temos:

$\sqrt{2cos(x)-1}=0$  ⇒

$|2cos(x)-1|=0$  ⇒

$2cos(x)-1=0$  ⇒

$2cos(x) = 1$  ⇒

$cos(x) = \frac{1}{2}$  ⇒

$cos(x)=cos(\frac{\pi}{3})$  ⇒

$x=+-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\ \ inteiro$  ****

Perceba que *** não fornece nenhuma raiz que seja compatível com as alternativas, porém fazendo $k=0$ em ****, temos a raiz $x=\frac{\pi}{3}$. Na expressão ****, os sinais $+-$ precedendo a expressão $\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\ \ inteiro$, equivalem a escrever $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k \ \ inteiro\ \ ou\ \ x = - \frac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\ \ inteiro$. O mesmo raciocínio também aplica-se em **.

Abraços!