Question

Uma das raízes da equação $x^{4}$ - x³ -3x² +3x = 0 é igual a 1. quais são as outras três raízes dessa equação

Answer 1

Vamos lá:

Fazendo a relação de Girard:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} = 1\\\\ x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} = - 3 \\\\ x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_2.x_3.x_4 = - \frac{d}{a} = - 3 \\\\ x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a} = 0$

Como a ultima equação é igual a 0, temos certeza de que pelo menos uma das raízes será igual a 0, pois 0 vezes qualquer número é 0. A questão diz que uma das raízes é igual a 1. Então, dadas essas informações, vamos imaginar que $x_1 = 0$ e $x_2 = 1$. Então, teríamos o seguinte:

$x_3 + x_4 + 1 = 1 \rightarrow x_3 + x_4 = 0 \\\\ x_3 + x_4 + x_3.x_4 = - 3 \\\\ x_3.x_4 = - 3$

Utilizando a equação 1, temos:

$x_3 + x_4 = 0 \\ x_3 = - x_4$

Substituindo o valor obtido na equação 3, temos:

$x_3.x_4 = - 3 \\ - x_4.x_4 = - 3 \\ - (x_4)^2 = - 3 \\ (x_4)^2 = 3 \\ x_4 = \pm \sqrt{3}$

Ou seja, temos as seguintes raízes:

$S = (0, 1, - \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples.
São pedidas as outras três raízes reais da equação abaixo, sabendo-se que uma das quatro raízes dessa equação é igual a "1":

x⁴ - x³ - 3x² + 3x = 0

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos primeiro colocar "x" em evidência na equação acima. Com isso, ficaremos assim:

x*(x³ - x² - 3x + 3) = 0 --- note: temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x³ - x² - 3x + 3 = 0

ii) Agora note mais isto: já temos que uma raiz é "1", pois foi dado no enunciado da questão. E agora, acabamos de encontrar uma outra, que é x' = 0.
Assim, já temos duas raízes, que são: x' = 0; e x'' = 1 (esta é a que foi dada no enunciado da questão).

iii) Nesse caso, a expressão original [x⁴-x³-3x²+3x = 0] será divisível (ou seja deixa resto zero) pelo produto (x-1)*(x-0) = x²-x.
Assim, vamos efetuar a divisão, pelo sistema direto, da equação original por "x²-x". Fazendo isso, teremos;

x⁴-x³-3x²+3x |_x²-x_ <--- divisor
. . . . . . . . . . .x² - 3 <--- quociente
-x⁴+x³
-----------------
0...0 - 3x²+3x
........+3x²-3x
---------------------
..........0.....0 <--- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois a equação
 original é divisível pelo divisor e, assim, deixará resto zero.

iv) Agora vamos encontrar as outras duas raízes com a utilização do quociente a que chegamos, que foi este:

x² - 3 ---- para encontrar as demais raízes, vamos igualar este quociente a zero, ficando:

x² - 3 = 0
x² = 3
x = ± √(3) ---- daqui você já conclui que:

x''' = - √(3)
x'''' = √(3)

v) Assim, as outras 3 outras raízes serão estas (colocando-as em ordem crescente):

x' = -√(3); x'' = 0; x''' = √(3). <--- Esta é a resposta. Ou seja, estas são as três outras raízes procuradas.

Dessa forma,  todas as quatro raízes serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = - √(3); x'' = 0; x''' = 1; e x'''' = √(3) <--- Esta são as 4 raízes da equação dada.

Assim, o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x''''} poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {-√3; 0; 1; √3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.