Question

Uma das raízes da equação
${x}^{2} - 25x + 2p = 0$
excede a outra em 3 unidades. Encontre as raízes da equação e o valor de p.

Me ajudem por favor.

Answer 1

Olá!

Seja $\mathsf{\lambda}$ uma das raízes da equação em questão. Assim, de acordo com o enunciado, a outra raiz será $\mathsf{\lambda + 3}$

 Sabe-se que a soma das raízes de uma equação do 2º grau (ax² + bx + c = 0) é dada por:

$\mathbf{S = - \frac{b}{a}}$

 Portanto, a soma das raízes da equação dada é:

$\\ \mathsf{S = - \frac{b}{a} = - \frac{- 25}{1} = 25}$

 Daí, fazemos:

$\\ \mathsf{\lambda + (\lambda + 3) = 25} \\\\ \mathsf{2 \cdot \lambda = 22} \\\\ \boxed{\mathsf{\lambda = 11}}$

 Desse modo, a outra raiz é $\boxed{\mathsf{\lambda + 3 = 14}}$


 Ademais, sabemos que o produto de uma equação de grau dois é dado por:

$\mathbf{P = \frac{c}{a}}$

 Por fim, temos que:

$\\ \mathsf{P = \frac{c}{a}} \\\\ \mathsf{11 \cdot 14 = \frac{2p}{1}} \\\\ \mathsf{2p = 11 \cdot 14} \\\\ \mathsf{p = 11 \cdot 7} \\\\ \boxed{\mathsf{p = 77}}$