Question

Uma das raízes complexas da equação x^4-3x^3 + 3x^2 - 3x +2 =0 é unidade imaginária ''i''. Determine as outras raízes.

Answer 1

A raiz imaginária sempre tem sua raiz conjugada, então temos que:

x₁ = i
x₂ = -i

Vou reduzir o grau por Briot-Ruffini:

___|_1__-3___3___-3___2___
    i |  1   -3+i    a       b      c

Vou separar para organizar melhor:

i(-3+i)+3 = a
-3i+i²+3 = a
a = -3i-1+3
a = -3i+2

ia-3 = b
i(-3i+2)-3 = b
-3i²+2i-3 = b
b = 3+2i-3
b = 2i

ib+2 = c
i(2i)+2 = c
c = 2i²+2
c = -2+2
c = 0

Comprovando que i é raíz. Nosso polinômio ficou:

x³+(-3+i)x²+(-3i+2)x+2i

Aplicando Briot-Ruffini novamente:

___|_1_ -3+i___-3i+2___2i___
   -i |  1     -3           2         0

Então o polinômio que resta é:

x²-3x+2 = 0

Por Delta, acha que as raízes são:

x₃ = 1
x₄ = 2