Question

Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionada ao cálculo da área de uma região abaixo de certa curva limitada pelo eixo Ox. Considere a função f(x), de R em R, definida por f(x) = x3 + 2x + 5 e o intervalo I = [0; 1]. Analise as afirmativas abaixo. I – A sua antiderivada é uma função polinomial de 3º grau. II – A função F(x) = (x4/4) + x2 + 5x + 4 é uma primitiva dessa função. III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox em I é igual a 23/4 u.a.. Assinale a alternativa que apresenta somente a(s) afirmativas correta(s). Alternativas: a) Somente a afirmativa I está correta. b) Somente a afirmativa II está correta. c) Somente a afirmativa III está correta. d) Somente as afirmativas I e III estão corretas. e) Somente as afirmativas II e III estão corretas.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, devemos relembrar de algumas propriedades.

Dada a função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}=x^3+2x+5$ e o intervalo $I=[0,~1]$, devemos analisar as afirmativas.

a) Sua antiderivada é uma função polinomial de 3° grau

A antiderivada se trata da integral indefinida da função, tal que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, $\displaystyle{\int f(x)\,dx =F(x)+C}$, em que $F(x)+C$ é uma primitiva da função e $C$ é a constante de integração, $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Como podemos ver, $f(x)$ é uma função polinomial de 3° grau. Sabendo que a integral de uma potência é dada por $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, pode-se afirmar que:

A antiderivada não é uma função de 3° grau.

b) A função $F(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^2+5x+4$ é uma primitiva dessa função.

Veja que ao integrarmos esta função, de acordo com a regra da potência discutida acima, teremos:

$\displaystyle{\int x^3+2x+5\,dx}\\\\\\ \dfrac{x^4}{4}+2\cdot\dfrac{x^2}{2}+5\cdot x$

Multiplique os valores e adicione a constante de integração

$\dfrac{x^4}{4}+x^2+5x+C,~C\in\mathbb{R}$

Veja que a função $F(x)$ é identicamente igual a esta primitiva, considerando $C=4$, logo afirma-se que:

$F(x)$ é uma primitiva dessa função.

c)  A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo $Ox$ em $I$ é igual a $\dfrac{23}{4}~u.~a$

Ainda de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, para o cálculo de integrais definidas em um intervalo $[a,~b]$, tal que $f(x)$ é contínua em todo este intervalo, fazemos: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Veja que calculamos a antiderivada desta função na alternativa anterior, logo utilizamos os limites de integração:

$\dfrac{1^4}{4}+1^2+5\cdot 1-\left(\dfrac{0^4}{4}+0^2+5\cdot 0\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{1}{4}+1+5$

Some as frações

$\dfrac{25}{4}~u.~a$

Dessa forma, podemos afirmar que:

A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo $Ox$ em $I$ não é igual a $\dfrac{23}{4}~u.~a$

Assim, nossa resposta final é:

b) Somente a afirmativa II está correta.