uma das dimensões de um paralelepípedo reto retângulo é 4cm. determinar as outras dimensões, sabendo que o volume e a diagonal medem, respectivamente 24cm e √29
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
As outras dimensões são: 3 cm e 2 cm.
Supondo serem as dimensões do paralelepípedo iguais a x e y e a altura z = 4 cm, segue que:
V = x.y.z =>
x.y.4 = 24 =>
x.y = 24/4 =>
x.y = 6 (I)
Chamando a diagonal da base do paralelepípedo de dimensões x e y de d₁, então:
d₁² = x² + y²
A diagonal do paralelepípedo d₂ é:
d₂² = z² + d₁² =>
d₂² = 4² + x² + y² =>
(√29)² = 16 + x² + y² =>
29 - 16 = x² + y² =>
x² + y² = 13 (II)
De (I) temos que x = 6/y (III), que substituído em (II), vem
(6/y)² + y² = 13
36/y² + y² = 13, multiplicando tudo por y², temos
36 + y⁴ = 13y² =>
y⁴ - 13y² + 36 = 0 (IV)
Fazendo y² = t, e substituindo em (IV), segue que
t² - 13t + 36 = 0, onde
a = 1, b = -13 e c = 36
Δ = b² - 4. a.c
Δ = (-13)² - 4.1.36
Δ = 169 - 144
Δ = 25
t = (-b ± √Δ)/2.a
t = (-(-13) ± √25)/2.1
t' = (13 + 5)/2 = 18/2 = 9
t" = (13 - 5)/2 = 8/2 = 4
Para t = 9 => y² = 9 => y = √9 => y = 3 (-3 não entra, pois representa medida de lado)
Para t = 4 => y² = 4 => y = √4 => y = 2 (-2 não entra, mesmo motivo do -3)
Assim
Para y = 3 => x.3 = 6 => x = 6/3 => x = 2
Para y = 2 => x.2 = 6 => x = 6/2 => x = 3
Portanto, as outras duas dimensões são:
x = 2 e y = 3 ou x = 3 e y = 2
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
