Uma das assíntotas da hipérbole H é a reta s : 2x − y = 1 e sua reta não focal é a
reta r : y − 1 = 0. Além disso, o ponto P= ( 1+√5,7) pertence à hipérbole. Encontre a equação da hipérbole e da outra assíntota e faça um esboço da hipérbole contendo todos os seus elementos tais como o centro, os vértices, as extremidades do eixo imaginário, os focos, a reta focal, e as assíntotas.
Soluções para a tarefa
Temos que equação da hipérbole é e a equação da outra assíntota é y = -2x + 3.
Como o eixo imaginário é y = 1 e uma das assíntotas é 2x - y = 1, então temos que a interseção será o centro:
2x - 1 = 1
2x = 2
x = 1
ou seja, o centro da hipérbole é C = (1,1).
A equação da assíntota é da forma (y - y₀) = a/b(x - x₀), sendo x₀ e y₀ as coordenadas do centro.
Então,
y - 1 = a/b(x - 1).
De 2x - y = 1, temos que:
2x = y + 1
2x - 2 = y + 1 - 2
2(x - 1) = y - 1.
Comprando as duas equações acima:
a/b = 2
a = 2b.
O eixo real da hipérbole é a reta x = 1. Então, a equação da hipérbole é da forma .
Como o ponto P pertence à hipérbole e a = 2b, temos que:
36 - 20 = 4b²
16 = 4b²
b = 2 e a = 4.
Portanto, a equação da hipérbole é .
Os outros elementos são: Os vértices da hipérbole são: V' = (1,-3) e V'' = (1,5). Já os focos são F' = (1,1-√20) e F'' = (1,1+√20). Já a outra assíntota é y = -2x + 3.