Uma das aplicações para o cálculo integral é a área limitada entre curvas. Sabendo disso, determine a área compreendida entre y= 2-x² e a reta y= -x apresentada na figura abaixo:
Soluções para a tarefa
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Inicialmente procuramos as abscissas dos pontos de contato entre as duas funções.
-x² + 2 = -x ⇒x² -x - 2 =0
x = {1 +-√[(-1)² - 4(1)(-2)]}/2
x = (1 +-√9)/2
x' = (1+3)/2 ⇒ x' = 2
x'' = (1 - 3)/2 ⇒ x'' = -1
Considerando que a função -x² + 2 está acima da função -x
a área será obtida pela integral da diferença da função acima (-x² + 2) menos a função abaixo (-x) no intervalo [-1 2]
∫[(-x² + 2) - (-x)]dx (no intervalo de -1 á 2)
-∫x²dx + 2dx + xdx (no intervalo de -1 á 2)
-x³/3 +2x + x²/2
substituindo x pelo limite superior 2
[-8/3 +4 + 4/2 ]= -8/3 +6
menos a substituição pelo limite inferior -1
[- (-1)³/3 +2(-1) +(-1)²/2] =1/3 - 2 + 1/2 = [5/6 -2]
-8/3 + 6 - 5/6 + 2 =-8/3-5/6+ 8 = 27/6
-x² + 2 = -x ⇒x² -x - 2 =0
x = {1 +-√[(-1)² - 4(1)(-2)]}/2
x = (1 +-√9)/2
x' = (1+3)/2 ⇒ x' = 2
x'' = (1 - 3)/2 ⇒ x'' = -1
Considerando que a função -x² + 2 está acima da função -x
a área será obtida pela integral da diferença da função acima (-x² + 2) menos a função abaixo (-x) no intervalo [-1 2]
∫[(-x² + 2) - (-x)]dx (no intervalo de -1 á 2)
-∫x²dx + 2dx + xdx (no intervalo de -1 á 2)
-x³/3 +2x + x²/2
substituindo x pelo limite superior 2
[-8/3 +4 + 4/2 ]= -8/3 +6
menos a substituição pelo limite inferior -1
[- (-1)³/3 +2(-1) +(-1)²/2] =1/3 - 2 + 1/2 = [5/6 -2]
-8/3 + 6 - 5/6 + 2 =-8/3-5/6+ 8 = 27/6
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