Question

Uma das aplicações para as integrais é de encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções contínuas f(x) e g(x) (f(x)≥g(x)) e limitadas pelas retas x=a e x=b.

Calcule a área da região limitada acima pela função f(x) = 10x, e abaixo por g(x) = x², e limitada nos lados pelas retas x = 0 e x = 10​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A área de uma região $R$, compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis no intervalo determinado pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$, onde $f(x)\geq g(x)$, pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Dessa forma, substituindo os dados cedidos pelo enunciado da questão, a área da região deve ser calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^{10}10x-x^2\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência pode ser calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{10\cdot\int x\,dx-\int x^2\,dx~~\biggr|_0^{10}}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$10\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~~\biggr|_0^{10}}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$5x^2-\dfrac{x^3}{3}~~\biggr|_0^{10}}$

Aplique os limites de integração

$5\cdot10^2-\dfrac{10^3}{3}-\left(5\cdot0^2-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$5\cdot100-\dfrac{1000}{3}-\left(5\cdot0-\dfrac{0}{3}\right)\\\\\\ 500-\dfrac{1000}{3}\\\\\\ \dfrac{500}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área desta região.