Question

Uma das aplicações do teorema de Green consiste na avaliação de fluxos de campos vetoriais, desde que as funções e as regiões consideradas sejam representadas adequadamente, e desde que as hipóteses do teorema sejam válidas em todo o contexto em estudo.

Com base nesse tema, considere a integral de linha apresentada a seguir:

(NA IMAGEM EM ANEXO)

Além disso, suponha que a curva C considerada, com orientação positiva, tenha formato triangular e seja de tal forma que seu interior R possa ser descrito como segue:

(NA IMAGEM EM ANEXO)

A representação gráfica de C e seu interior R é dada na figura a seguir:

(NA IMAGEM EM ANEXO)

Calcule a integral de linha apresentada, aplicando o teorema de Green, e assinale a alternativa que indica o resultado correto obtido por meio desse procedimento de cálculo:

Alternativas:

a) Aproximadamente -0,6.

b) Aproximadamente 7,6.

c) Aproximadamente 9,1.

d) Aproximadamente 11,7.

e) Aproximadamente 13,5.

Answer 1

Utilizando teorema de Green e integral de área temos que esta integral vale aproximadamente -0,6.

Explicação passo-a-passo:

O teorema de Green transforma integrais sobre curvas fechadas em integrais de área sobre a região dlimitada pelo campo vetorial, da seguinte forma:

$\oint P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dydx$

Então temos a nossa integral:

$\oint ye^{x}dx+2x^2ydy$

Usando o teorema de Green:

$\oint ye^{x}dx+2x^2ydy=\int\int (4xy-e^{x})dydx$

Agora precisamos definir os limites de integração da área em questão.

Note que y vai de 0 até a reta que limita superiormente y=1-x, e x vai de 0 a 1, então nossos limites são:

$\int\limits^{1}_{0}\int\limits^{1-x}_{0} (4xy-e^{x})dydx$

Agora basta integrarmos:

$\int\limits^{1}_{0} (2xy^2-ye^{x})\limits^{1-x}_{0}dx$

$\int\limits^{1}_{0} (2x(1-x)^2-(1-x)e^{x})dx$

$\int\limits^{1}_{0} (2x(1-2x+x^2)-e^{x}+xe^{x})dx$

$\int\limits^{1}_{0} (2x-4x^2+2x^3-e^{x}+xe^{x})dx$

$(x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{2}x^4-e^{x})\limits^{1}_{0}+\int\limits^{1}_{0} (xe^{x})dx$

$(1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-e+1)+[xe^{x}\limits^{1}_{0}-\int\limits^{1}_{0} (e^{x})]dx$

$(1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-e+1)+[e-\int\limits^{1}_{0} (e^{x})]dx$

$(1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-e+1)+[e-e+1]$

$1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-e+1+1$

$3-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-e$

$\frac{7}{2}-\frac{4}{3}-e$

$\frac{21}{6}-\frac{8}{6}-e$

$\frac{13}{6}-e$

$\frac{13}{6}-e$

= -0,55 ou -0,6 arredondando

Então temos que esta integral vale aproximadamente -0,6.