Question

Uma das aplicações do limite é a determinação do coeficiente angular de uma reta tangente que passe por uma função especificada, aplicando o limite à equação da reta secante. Se a função analisada for dada por f(x) = 3x2 – 2x + 5, analise as informações apresentadas.

I) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 2 é m = 10
II) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 1 é m = 5
III) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 0 é m = -2

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.

Alternativa 2:
I e II apenas.

Alternativa 3:
I e III apenas.

Alternativa 4:
II apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Temos que o coeficiente angular de uma curva f no ponto P = (x₀,f(x₀)) é dado por:

$m= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}$.

Sendo assim, vamos analisar cada afirmativa.

I. Temos que x₀ = 2.

Sendo assim,

f(2) = 3.2² - 2.2 + 5

f(2) = 12 - 4 + 5

f(2) = 13.

Além disso, temos que:

f(h + 2) = 3.(h + 2)² - 2.(h + 2) + 5

f(h + 2) = 3(h² + 4h + 4) - 2h - 4 + 5

f(h + 2) = 3h² + 12h + 12 - 2h - 4 + 5

f(h + 2) = 3h² + 10h + 13.

Logo,

$m=\lim_{h \to 0} \frac{3h^2+10h+13-13}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{3h^2+10h}{h}=\lim_{h \to 0} 3h + 10 = 10$.

Portanto, a afirmativa está correta.

II. Temos que x₀ = 1.

Então,

f(1) = 3.1² - 2.1 + 5

f(1) = 3 - 2 + 5

f(1) = 6.

Além disso, temos que:

f(h + 1) = 3.(h + 1)² - 2(h + 1) + 5

f(h + 1) = 3(h² + 2h + 1) - 2h - 2 + 5

f(h + 1) = 3h² + 6h + 3 - 2h - 2 + 5

f(h + 1) = 3h² + 4h + 6.

Logo,

$m =\lim_{h \to 0} \frac{3h^2+4h+6-6}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{3h^2+4h}{h}=\lim_{h \to 0} 3h+4 = 4$

Portanto, a afirmativa está errada.

III. Temos que x₀ = 0. Assim,

f(0) = 3.0² - 2.0 + 5

f(0) = 5.

Além disso, temos que:

f(h + 0) = 3.(h + 0)² - 2.(h + 0) + 5

f(h) = 3h² - 2h + 5

Logo,

$m=\lim_{h \to 0}\frac{3h^2-2h+5-5}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{3h^2-2h}{h}=\lim_{h \to 0} 3h - 2 = -2$.

Portanto, a afirmativa está correta.

Assim, concluímos que a alternativa correta é a alternativa 3.