Matemática, perguntado por soniia1, 11 meses atrás

Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo de área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com a utilização da geometria clássica eram inacessíveis. Sendo assim, determine a área entre a curva y = x² e y = 4x:
I- A área entre as curvas é 16/3.
II- A área entre as curvas é 8/3
III- A área entre as curvas é 1/6
IV- A área entre as curvas é 15/4

Soluções para a tarefa

Respondido por cassiohvm

Resposta:

Aparentemente são todas falsas, mas posso ter errado alguma conta.

Explicação passo-a-passo:

As curvas são uma reta e uma parábola. Primeiro vamos calcular a interseção delas para encontrarmos os limites de integração. Precisamos então resolver o sistema:

y = x²

y = 4x

Logo x² =4x que tem 0 e 4 como raízes. Assim, o intervalo de integração é [0,4]. A área que desejamos calcular é dada pela integral

$\displaystyle \int_0^4 4x-x^2 \, dx = 2x^2 - \dfrac{x^3}3 \Bigg|_0^4 = 32 - \dfrac{64}3 = \dfrac{32}3$

luizarosat: eu tbm calculei e deu esse valor 32/3

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área compreendida entre os gráficos das referidas funções é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \frac{32}{3}\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam as funções:

$\Large\begin{cases}\tt f(x) = x^{2}\\ \tt g(x) = 4x\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

Determinar o intervalo de integração, compreendido entre as referidas funções. Para isso, devemos calcular as abscissas dos pontos de interseções das funções, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x^{2} = 4x\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x^{2} - 4x = 0\end{gathered}$}$

Calculando o valor do delta, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 16\end{gathered}$}$

Calculando as raízes:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{-(-4)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{4\pm4}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 2\pm2\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes:

$\Large\begin{cases} \tt x' = 2 - 2 = 0\\ \tt x'' = 2 + 2 = 4\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da equação do segundo grau é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt S = \{-2,\,2\}\end{gathered}$}$

Desta forma, o intervalo de integração é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt I = \left[a,\,b\right] = \left[x',\,x''\right] = \left[-2,\,2\right]\end{gathered}$}$

Calcular a área entre as curvas.

Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,dx\end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases} \tt S = \acute{A}rea\:entre\:as\:curvas\\\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{4} (4x - x^{2})\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[\frac{4x^{1 + 1}}{1 + 1} - \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + c\right]\bigg|_{0}^{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[\frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + c\right] \bigg|_{0}^{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[\frac{4\cdot4^{2}}{2} - \frac{4^{3}}{3} + c\right] - \left[\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3} + c\right]\end{gathered}$}$