Question

Uma das aplicações do conceito de derivada tem relação com a determinação da reta tangente a uma curva, ou ao gráfico de uma função, em um ponto fixado. Nesse caso, podemos relacionar a derivada com a inclinação da reta tangente, ou coeficiente angular da reta tangente, de tal forma que para uma função f e um ponto fixado a, a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = a pode ser dada por:

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Nesse sentido, considere a função cuja lei de formação é f(x) = 1/x e seja o ponto x = 3 pertencente ao seu domínio.

Recorrendo à definição de derivada via limites, assinale a alternativa que fornece corretamente a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 3:Leitura Avançada
(4 Pontos)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Nossa mano, é tão bom ver um enunciado escrito tão organizado e legível rs é raro por aqui.

A definição de derivada de uma função f em um ponto a, é

$\displaystyle \lim_{x \:  \to \: a} \dfrac{f(a) - f(x)}{x - a}$

Sendo f(x) = 1/x , no ponto x = 3

$\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}= \displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{\frac{3-x}{3x}}{x-3}=\\\\\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{3-x}{3x(x-3)} =\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{3-x}{-3x(3-x)}=\displaystyle\lim_{x \to 3}-\dfrac{1}{3x}=-\dfrac{1}{9}$

Agora temos que determinar a equação da reta tangente ao gráfico.

Primeiro precisamos determinar o ponto em que a reta tangencia o gráfico.

Sabemos que é em x = 3, y = 1/3, então o ponto será (1, 1/3), agora é só substituir na equação geral da reta.

$y-f(3)=f'(3)(x-3) \\ \\ y - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{9}(x-3) \\ \\ y = \dfrac{1}{9}x \ + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \\ \\ \boxed{\boxed{y = -\dfrac{1}{9}x+\dfrac{2}{3}}}$

Pronto, bons estudos.