Question

Uma das aplicações do cálculo de integrais definidas é na realização de estimativas de áreas sob curvas a partir de um intervalo e de uma função.
Diante disso, estime a área sob o gráfico de ( VER IMAGEM ANEXA)
de x = 1 até x = 5, usando quatro retângulos de aproximação e os extremos direitos.​​​​​​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre Somas de Riemann.

A estimativa pra a área sob a curva do gráfico de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ utilizando $n$ subdivisões iguais e os extremos direitos é calculada pela fórmula: $\boxed{\displaystyle{\sum_{i=1}^nf(x_{i})\cdot \Delta x_i}}$, em que $\Delta x_i=\dfrac{b-a}{n}$.

Assim, devemos estimar a área sob a curva do gráfico da função $w(x)=\dfrac{1}{x}$ no intervalo  $[1,~5]$, usando quatro retângulos de aproximação e os extremos direitos.

Neste caso, calculamos $\Delta x_i$:

$\Delta x_i=\dfrac{5-1}{4}\\\\\\ \Delta x_i=\dfrac{4}{4}\\\\\\ \Delta x_i=1$

Substituindo estes dados na fórmula, temos:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^4\dfrac{1}{x_i}\cdot1}$

Multiplique os valores e expanda o somatório

$\displaystyle{\sum_{i=1}^4\dfrac{1}{x_{i}}}\\\\\\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$

Some as frações

$\dfrac{30+20+15+12}{60}\\\\\\ \dfrac{77}{60}$

Calcule uma aproximação para a fração

$1.28333...$

Esta é uma estimativa para a área sob a curva do gráfico desta função neste intervalo e é a resposta contida na letra b).

Observe a imagem em anexo. Em verde, temos a área real sob a curva e em laranja, temos a área estimada utilizando os extremos direitos.