Question

Uma das aplicações de uma derivada é encontra o valor máximo o mínimo de uma função. Em diversas áreas podemos utilizar essas aplicações, com por exemplo: o menor custo de fabricação de um produto, a força máxima de um objeto, o maior lucro da venda de um produto, a área máxima, o menor volume, entre outros. Estes problemas são conhecidos como problemas de otimização no qual o objetivo é ter o melhor a aproveitamento de uma função. Considere a seguinte situação: Uma pessoa tem uma área livre em seu quintal. Essa área tem formato retangular e o dono do terreno comprou 300 metros de cerca para delimitar essa região e fazer um canteiro de verduras e ervas finas. Determine a medidas dos lados desse canteiro para que a área seja a maior possível.

Answer 1

Vamos considerar que as medidas do terreno são x e y.

De acordo com o enunciado, o dono comprou 300 metros de cerca para delimitar a região e fazer um canteiro, ou seja, o perímetro é igual a 300.

Sabemos que perímetro é igual a soma de todos os lados do polígono.

Sendo assim,

2x + 2y = 300

x + y = 150.

Sabemos que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões.

Então,

A = x.y

De x + y = 150 podemos dizer que y = 150 - x.

Assim,

A = x(150 - x)

A = 150x - x².

Derivando a área:

A' = 150 - 2x.

Assim,

150 - 2x = 0

2x = 150

x = 75 e y = 75

Portanto, as medidas dos lados do canteiro deverão ser 75 metros para que a área seja a maior possível.