Question

Uma das aplicações da geometria analítica consiste no cálculo de alguns tipos de área utilizando o produto vetorial. Explique como esse resultado pode ser utilizado para o cálculo da área, por exemplo, de um polígono com cinco lados

Answer 1

A utilização do produto vetorial no cálculo da área de um polígono com cinco lados está descrita abaixo.

Considere o polígono de cinco lados ABCDE abaixo. Observe que podemos dividi-lo em três triângulos, que chamaremos de ABC, ACD e ADE.

A área do pentágono ABCDE é igual à soma das áreas dos triângulos citados.

Vejamos como calcular a área de um triângulo utilizando vetor.

Precisamos determinar os vetores AB e AC. Feito isso, devemos colocar esses vetores em uma matriz 2x2 e calcular o seu determinante.

A área do triângulo ABC será igual à metade do módulo do determinante encontrado.

Isso deve ser feito com os outros dois triângulos também.

Assim, a área do polígono de cinco lados é igual a:

$S=\frac{|AB.AC|}{2}+\frac{|AC.AD|}{2}+\frac{|AD.AE|}{2}$.