Question

Uma cultura de bactérias cresce segundo a função N(t) = C.e^kt, onde C e k são constantes, N é o número de bactérias presentes na cultura na cultura e t é o tempo em horas. Sabendo que o número de bactérias no instante 2 horas é de 2000 e no instante 5 horas é de 10000, determine os valores de C e k.

Answer 1

Aplicando a função para os tempos definidos
    
              $2000=c e^{2k} \\ \\ 10000=ce ^{5k} \\ \\ \frac{10000}{2000} = \frac{c e^{5k} }{c e^{2k} } \\ \\ 5= e^{3k} \\ \\ ln5=3klne \\ \\ k= \frac{ln5}{3} \\ \\ k= \frac{1,61}{3} \\ \\ k=0,54$
 
               $2000=c e^{2(0,54)} \\ \\ c= \frac{2000}{ e^{1,08} } \\ \\ c= \frac{2000}{2,94} \\ \\ c=680$
 
               A função é
                                          $N(t) = 680e^{0,54t}$

Answer 2

Sabendo que, uma cultura de bactérias cresce segundo a função $\boxed{N(t) = C\;*\;e^{kt}}$  os valores de C e k são, respectivamente: 684,04 e 0,54.

Para determinar os valores de C e K, temos que substituir os dados do número de bactérias e o instante na função dada, então, primeiro vamos achar k e logo para achar C:

Lembrando que:

• N = 2000 ⇒ t = 2 horas:

$N(t) = C\;*\;e^{kt}\\\\N(2) = C\*\;e^{2k}\\\\\boxed{2000 = C\*\;e^{2k}}\;\; I. Eqc.$

• N = 10.000 ⇒ t = 5 horas:

$N(t) = C\;*\;e^{kt}\\\\N(5) = C\*\;e^{5k}\\\\\boxed{10.000 = C\*\;e^{5k}}\;\; II. Eqc.$

Agora dividimos a equação II pela equação I:

$\frac{N(5)}{N(2)} = \frac{10.000}{2.000}$

Substituímos as equações correspondentes a cada uma:

$\frac{C\;*\;e^{5k}}{C\;*\;e^{2k}}= 5\\\\e^{(5k-2k)} = 5\\\\e^{3k} = 5\\\\3k\;*\;log\;(e) = log\;(5)\\\\3k\;\;log\;(2,718) = log\;(5)\\\\3k = \frac{log\;(5)}{log\;(2,718)}\\\\3k = \frac{0,6989}{0,4342}\\\\3k = 1,6096\\\\k = \frac{1,6096}{3}\\\\\boxed{k \approx 0,54}$

Logo sustituimos o valor de k para achar C:

$2.000= C.\;*\;e^{2k}\\\\2.000=C\;*\;e^{(2\;*\;0,54)}\\\\2.000=C\;*\;e^{1,073}\\\\C = \frac{2.000}{e^{1,073}}\\\\C = \frac{2.000}{2,718^{1,073}}\\\\C = \frac{2.000}{2,9238}\\\\\boxed{C \approx 684,04}$

Finalmente, podemos substituir os valores de C e K na função para determinar como ela fica:

$\boxed{N(t) = C\;*\;e^{kt}} \rightarrow \boxed{N(t) = 684,04\;*\;e^{0,54\;*\;t}}$

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