Question

Uma corda da circunferência x 2 + y 2 = 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x – 7y + 25 = 0. Encontrar o comprimento da corda. (Use 2 = 1,4 ).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Freefire, que a resolução parece simples. 

i) Tem-se que a circunferência tem equação: x² + y² = 25, enquanto a reta tem equação: x - 7y + 25 = 0.

ii) Note que temos um sistema de equações com duas incógnitas que é este:

{x² + y² = 25         . (I)
{x - 7y + 25 = 0    . (II) 

iii) vamos fazer o seguinte: isolaremos "x" na equação (II). Fazendo isso, teremos: 

x = 7y - 25       . (III) 

iv) Agora iremos na equação (I) e substituiremos "x" por "7y-25", conforme vimos na expressão (III). Vamos apenas repetir a equação (I), que é esta:

x² + y² = 25 ---- substituindo-se "x" por "7y-25", teremos:
(7y-25)² + y² = 25 ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:
49y² - 350y + 625 + y² = 25 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
50y²  350y + 625 = 25 ---- passando "25" para o 1º membro, temos:
50y² - 350y + 625 - 25 = 0 --- ou apenas:
50y² - 350y + 600 = 0 ---- para simplificar, poderemos dividir ambos os membros por "50" com o que iremos ficar assim:

y² - 7y + 12 = 0 ----- Se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes: 

y' = 3 e y'' = 4.


v) Agora vamos na expressão (III) e, nela, substituiremos o "y" por "3" e por "4" e, assim, encontraremos os valores de "x" correspondentes. Vamos apenas repetir a expressão (III), que é esta:

x = 7y -25

- Substituindo-se "y" por "3", teremos: 

x = 7*3 - 25 
x = 21 - 25 
x = - 4 <--- Este será o valor de "x" quando "y" for igual a "3". Assim, teremos um ponto A em que a reta corta a circunferência, com as seguintes coordenadas: A(-4; 3) 

- Substituindo-se "y" por "4" , teremos:

x = 7*(4) - 25 
x = 28 - 25 
x = 3 <--- Este é o valor de "x" quando "y" for igual a "4". Assim, teremos um ponto B onde a reta corta novamente a circunferência, que será: B(3; 4).


vi) Agora, para encontrar a medida da corda, basta que calculemos a distância entre os pontos A(-4; 3) e B(3; 4). Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, teremos:

(AB)² = (3-(-4))² + (4-3)² 
(AB)² = (3+4)² + (4-3)² 
(AB)² = (7)² + (1)² 
(AB)² = 49 + 1 
(AB)² = 50 ----- isolando AB, teremos:
AB = ± √(50) ----- note que 50 = 25*2. Assim:

AB = ± √(25*2) ---- ou, o que é a mesma coisa:

AB = ± √(25)*√(2) ----- como √(25) = 5, teremos:

AB = ± 5√(2) ---- como a medida da corda não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:


AB = 5√(2) ----- como o enunciado da questão recomenda que se considere que √(2) igual a "1,4" , então vamos substituir, ficando:

AB = 5*1,4 ----- note que este produto dá exatamente igual a "7". Assim:

AB = 7 u.m. <---- Esta é a resposta. Observação: u.m. = unidades de medida. Ou seja, a corda que corta a circunferência mede 7 unidades de medida.


É isso aí.
Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.