Question

Uma cônica tem equação 5x
2 − 4y
2 +
30x + 16y + 49 = 0. Caracterize a cônica,
determine seus focos e sua excentricidade.

Answer 1

Olá, siga a explicação abaixo:

Como estamos remetendo com variáveis de sinais opostos e elevados a termos é possível definir a cônica como hipérbole!

Veja;

$5x ^{2} - 4x^{2} + 30x + 16y + 49 = 0 \\ Se \: mantem: \\ 5x ^{2} + 30x + 45 - 4y ^{2} + 16y - 16 = - 49 + 45 - 16 \\ 5(x - 3) ^{2} - 4(y - 2) ^{2} = - 20 \\ \frac{(y - 2) ^{2} }{5} - \frac{(x + 3) ^{2} }{4} = 1 \\ Logo: \\ x _{0} = - 3, y _{0} = - 2$

Para estipular os focos da hipérbole:

$f = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} } \\f = \sqrt{a ^{2} - b ^{2} } \\ Sendo: \\ foco = (- 3,5) \\foco = (- 3, - 1)$

E a excentricidade:

$\frac{ \sqrt{a ^{2} + b ^{2} } }{a} \\</strong><strong> </strong><strong>\frac{3 \sqrt{5} }{5} \\ \: Ou: \\ 1.34164078…$