Matemática, perguntado por sintaapressaonenem, 7 meses atrás

Uma companhia de turismo realizou uma pesquisa com 500 pessoas, perguntando:
1. Você conhece a região Sul do Brasil?
2. Você conhece a região Norte do Brasil?
3. Você conhece a região Centro-Oeste do Brasil?

Feito o levantamento dos dados, constatou-se que todas as pessoas responderam sim ou não a todas as perguntas e que, precisamente:

• 236 conheciam a região Sul
• 241 conheciam a região Norte
• 253 conheciam a região Centro-Oeste
• 68 não conheciam nenhuma das três regiões
• 104 conheciam as regiões Sul e Centro-Oeste
• 116 conheciam as regiões Norte e Centro-Oeste
• 110 conheciam as regiões Sul e Norte

O número de pessoas entrevistadas que conheciam as três regiões era:

a) 32
b) 74
c) 86
d) 59
e) 46

RESOLVER USANDO O DIAGRAMA DE VENN

Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

Para encontrarmos o número de pessoas entrevistadas que conheciam as três regiões, como não foi dada esta informação, vamos chamar esta quantidade de X (xis).

Para facilitar a nossa visualização e interpretação dos dados apresentados pelo enunciado, vamos distribui-los no diagrama de Venn.

Antes de iniciarmos os cálculos, saiba que do total de pessoas que conheciam uma determinada região, estão inclusos aqueles que conheciam APENAS uma região, aqueles que conheciam duas regiões e também aqueles que conheciam as três regiões. Desta forma, devemos descontar uma da outra.

Na sequência, devemos somar todos os valores e expressões do diagrama e igualar ao total de pessoas entrevistadas a fim de encontrar a quantidade de pessoas que conheciam as três regiões. Veja:

Dados:

Pesquisa com 500 pessoas:

236 conheciam a região Sul
241 conheciam a região Norte
253 conheciam a região Centro-Oeste
68 não conheciam nenhuma das três regiões
104 conheciam a região Sul e Centro-Oeste
116 conheciam a região Norte e Centro-Oeste
110 conheciam a região Sul e Norte
Quantas pessoas conheciam as três regiões ?

Seja:

S = conheciam a região Sul

N = conheciam a região Norte

CO = conheciam a região Centro-Oeste

Descontando dos que conheciam duas regiões, aqueles que conheciam três regiões:

⇒ S ∩ N ( quantidade que conheciam a região Sul e Norte):

S ∩ N - S ∩ N ∩ CO = 110 - X ←←←

⇒ S ∩ CO (quantidade que conheciam a região Sul e Centro-Oeste):

S ∩ CO - S ∩ N ∩ CO = 104 - X ←←←

⇒ N ∩ CO (quantidade que conheciam a região Norte e Centro-Oeste):

N ∩ CO - S ∩ N ∩ CO = 116 - X ←←←

Descontando dos que conheciam uma região, aqueles que conheciam duas e três regiões:

⇒ Apensas conheciam a região S:

S - S ∩ N - S ∩ CO - S ∩ N ∩ CO =

236 - (110 - X) - (104 - X) - X=

236 - 110 + X - 104 + X - X = 22 + X ←←←

⇒ Apensas conheciam a região N:

N - S ∩ N - N ∩ CO - S ∩ N ∩ CO =

241 - (110 - X) - (116 - X) - X =

241 - 110 + X - 116 + X - X = 15 + X ←←←

⇒ Apensas conheciam a região CO:

CO - S ∩ CO - N ∩ CO - S ∩ N ∩ CO =

253 - (104 - X) - (116 - X) - X =

253 - 104 + X - 116 + X - X = 33 + X ←←←

Montando o diagrama de Venn:

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.77,2.77)(0,3)\bezier(3,0)(2.77,2.77)(0,3)\bezier(-3,0)(-2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(3,0)(2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(0,0)(0.17,2.77)(3,3)\bezier(6,0)(5.77,2.77)(3,3)\bezier(0,0)(0.17,-2.77)(3,-3)\bezier(6,0)(5.77,-2.77)(3,-3)\bezier(-1.5,3)(-1.4,5.77)(1.5,6)\bezier(4.5,3)(4.4,5.77)(1.5,6)\bezier(-1.5,3)(-1.17,0.2)(1.5,0)\bezier(4.5,3)(4.27,0.2)(1.5,0)\put(1.3,5){\Large$\sf S\;22+X$}\put(5.2,-0.2){\Large$\sf CO\;33+X$}\put(-2.7,-0.2){\Large$\sf N\;15+X$}\put(-1,2){\Large$\sf 110-X$}\put(2.6,2){\Large$\sf 104-X$}\put(0.7,-1.4){\Large$\sf 116-X$}\put(0.4,0.4){\Large$\sf X$}\put(5,5){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large$\sf ttl\;500\;alunos $}}\put(5,4){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large$\sf 68\;nd\;conheciam$}}\end{picture}$