Question

Uma colônia possui inicialmente 50 bactérias. Sabendo-se que a cada 10 minutos a quantidade de bactérias dobra .

a)Quantas bactérias haverá ao final de um dia completo?

b)Qual o tempo necessário para a colônia superar o número de 10.000 bactérias?

(Conta passo a passo por favor, bem esclarecida)

Answer 1

Queremos descobrir após quanto tempo haverá 500~000500 000 bactérias.

Isto é, o valor de nn de modo que, 500\cdot2^{n}=500~000500⋅2n=500 000 .

Temos:

500\cdot2^{n}=500~000500⋅2n=500 000 

Dividindo os dois lados por 500500 :

\dfrac{500\cdot2^{n}}{500}=\dfrac{500~000}{500}~~\Rightarrow~~2^{n}=1~000500500⋅2n=500500 000  ⇒  2n=1 000 

Veja que 1~000=2^3\times5^31 000=23×53 , vamos dividir os dois lados por 2^323 :

\dfrac{2^{n}}{2^3}=\dfrac{1~000}{2^3}~~\Rightarrow~~2^{n-3}=5^3232n=231 000  ⇒  2n−3=53 .

Seja m=n-3m=n−3 , assim: 2^{m}=5^32m=53 .

Logo, m=\dfrac{3\cdot\text{log}(5)}{\text{log}(2)}m=log(2)3⋅log(5) e, portanto, 

n=3+\dfrac{3\cdot\text{log}(5)}{\text{log}(2)}\approx9,96n=3+log(2)3⋅log(5)≈9,96 .

Assim, aproximadamente, após a 9,96^{a}9,96ameia hora haverá 500~000500 000 bactérias na colônia.

Aproximadamente, 44 horas, 5858 minutos e 5858 segundos.

Espero ter ajudado, até mais ^^