Question

Uma colônia de bactérias foi colocada numa placa e, simultaneamente, foi adicionada
uma mistura de antibióticos, para se testar sua eficácia. A quantidade
de bactérias que permanecia viva na cultura, após t horas, é dada por N(t) =1/t.
1. Construa um esboço do gráfico desta função considerando , 1 ≤ t ≤ 6
com t ∈ ℝ.
2.Qual é a equação que nos dará a taxa de variação instantânea de N em
relação a t, isto é, dN/dt ?
3.Qual é a taxa de variação da população de bactérias quando t = 5 ?

Answer 1

(1) Anexo.

(2) dN/dt = N'(t) = -1/t²

(3) A taxa de variação para t = 5 é -1/25.

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(1) Para construir o gráfico da função no intervalo dado, basta você escolher alguns valores de t entre entre 1 e 6 e calcular o valor da função através da função. Para um melhor resultado, escolha também valores decimais (Números racionais).

Veja uma possibilidade com os valores de  t escolhidos por mim, o valor da função respectivo a cada escolha e o par ordenado resultante:

t               N(t)                          (t, N(t))

1               1/1 = 1                          (1 , 1)

1,5            1/1,5 = 2/3                  (1 , 2/3)

2              1/2                              (2 , 1/2)

3              1/3                               (3 , 1/3)

3,5           1/3,5 = 2/7                  (3,5 , 2/7)

4              1/4                               (4 , 1/4)

4,5           1/4,5 = 2/9                  (4,5 , 2/9)

5              1/5                               (5 , 1/5)

5,5           1/5,5 = 2/11                  (5,5 , 2/11)

6              1/6                               (6 , 1/6)

Após a construção da tabela, basta você plotar os pares em um plano cartesiano e traçar a melhor curva sobre os pontos encontrados. O gráfico da função está em anexo.

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(2) Para tal, você deve encontrar a derivada da função N(t). Usando a definição de derivada:

dN/dt = lim(h→0) [N(t + h) - N(t)] / h

Substituindo:

dN/dt = lim(h→0) [1/(t + h) - 1/t] / h

dN/dt = lim(h→0) [t-(t+h)/t(t + h)] / h

dN/dt = lim(h→0) [-h/t(t + h)] / h

dN/dt = lim(h→0) [-1/t(t + h)]

dN/dt = -1/t(t + 0)

dN/dt = N'(t) = -1/t²

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(3) Basta substituir t = 5 na função derivada:

N'(5) = -1/5² = -1/25

Até mais!