Question

Uma circunferência passa pelos pontos A(-3; 3) e B(1; 4) e seu centro se encontra sobre a reta 3x - 2y - 23= 0, encontre sua equação.

Answer 1

O centro da circunferência estará localizado na mediatriz da reta 3x - 2y-23=0 . Portanto vamos começar calculando o ponto médio da reta AB (xm;ym): 

xm=(xa+xb)/2=(-3+1)/2 = -1
ym=(ya+yb)/2=(3+4)/2= 3,5 

M = (-1; 3,5) 

Agora vamos encontrar o coeficiente angular da reta que passa por AB: 

m = (yb-ya)/(xb-xa)
m = (4-3)/(1-(-3)) = 1/4 = 0,25 

Coeficiente angular das retas perpendiculares a AB: 

m’ = 1/m = 1/0,25
m' = 4 

A equação da reta de coeficiente angular m' que passa pelo ponto ((xm,ym) é de: 

y-ym=m'(x-xm)
y - (-1) = 4(x + 3,5) 

y = 4x + 7

4x - y + 7 = 0

O centro da circunferência será igual ao ponto de intersecção de 4x -y + 7 = 0 e 3x -2y -23 = 0 

4x-y = - 7 
3x-2y = 23


Portanto, somando a primeira equação da segunda temos:

 4x-y/4 = -4 .(-2)
-8x +2y = 14

- 5x = 37
x = -7,4 ∴ y = -22,6

Logo o centro é C(-7,4; -22,6) 

Agora precisamos encontrar o raio da circunferência, então: 

Distancia CA:

r = | √((Yc-Ya)²+(Xc-Xa)²

r = |√(-22,6 - 3)² + (-7,4 - (-3))²|
r = |√(665,36) + (19,36)|
r = |√684,72|
r = 26,16

A equação da circunferência de centro c e raio r será igual a:

(x – xC)² + (y – yC)² = r² 

(x-(-7,4))² + (y-(-22,6))² = 684,72
( x + 7,4)² + y + 22,6)² = 684,72