Question

Uma circunferência de raio 2, localizada no 1° quadrante, tangencia o eixo X e a reta de equação 4x-3y=0 então a abscissa  de centro dessa circunferência é?

Answer 1

A circunferência tem centro C(a, b). Como ela tangencia  o eixo x, e o raio é igual a 2, a ordenada b, do centro é igual a 2. Daí o centro será C(a, 2). 

A circunferência também tangencia a equação 4x-3y=0. Considerando que o raio é igual a 2, podemos dizer que a distância do centro C(a, 2) à reta será igual a 2:

$D = | \frac{ax_c + by_c + C}{ \sqrt{a^2+b^2} } |$

Sendo xc = a e yc = 2 (centro)

a = 4, b = -3 e C = 0 (da reta)

então:

$D = | \frac{ax_c + by_c + C}{ \sqrt{a^2+b^2} } | \\ \\ D = | \frac{4.a + (-3).2 + 0}{ \sqrt{4^2+(-3)^2} } | \\ \\ D = | \frac{4a - 6}{ \sqrt{16+9} } | \\ \\ D = | \frac{4a - 6}{ \sqrt{25} } | \\ \\ D = | \frac{4a - 6}{ 5 } |$

Como a distância entre a reta e o centro tem o mesmo valor que o raio, teremos que:

$| \frac{4a - 6}{ 5} | = 2 \\ \\ \frac{4a - 6}{ 5 } = 2 \\ \\ 4a - 6 = 2.5 \\ \\ 4a - 6 = 10 \\ \\ 4a = 10 + 6 \\ \\ 4a = 16 \\ \\ a = 16/4 \\ \\ a = 4$

Logo, a abscissa do centro será igual a 4