Question

uma circunferencia de centro na reta de equação x-y-4=0, passa pelos pontos A(0, -2) e B(2,0). Determine a equação dessa circunferência.

Answer 1

A distância dos pontos A e C (centro), e B e C equivalem ao raio da circunferência, logo:

Xc e Yc correspondem as coordenadas do centro.

Ponto A(0,-2):

D(a,c) = √[(Xc - 0)² + (Yc - (-2))²]
D(a,c) = √[Xc² + Yc² + 4Yc + 4]
D(a,c) = r
r² = Xc² + Yc² + 4Yc + 4

Ponto B(2,0):

D(b,c) = √[(Xc - 2)² + (Yc - 0)²]
D(b,c) = √[Xc² - 4Xc + 4 + Yc²]
D(b,c) = r
r² = Xc² + Yc² - 4Xc + 4

Igualando os raios encontrados:

Xc² + Yc² + 4Yc + 4 = Xc² + Yc² - 4Xc + 4
4Yc = - 4Xc
Yc = - Xc

Substituindo na equação dada que passa pelo centro:
x - y - 4 = 0 --> y = x - 4
Yc = y
Xc = x
- x = x - 4
x = 2

y = 2 - 4
y = -2

Para encontrar o raio basta voltar a uma das equações já encontradas:
r² = Xc² + Yc² - 4Xc + 4
r² = 2² + (-2)² - 4.2 + 4
r² = 4 + 4 - 8 + 4
r² = 4

Por fim, determinamos a equação da circunferência:
(x - Xc)² + (y - Yc)² = r²
(x - 2)² + (y + 2)² = 4

Espero que tenha entendido ;)