Question

Uma cidade do interior do Piauí possuía uma população de 20.000 habitantes em 2000 e, em 2010, sua população era de 30.000. Supondo o crescimento geométrico, qual será sua população em 2020?

A) 40.000
B) 42.000
C) 43.500
D) 45.000
E) 67.500

Por favor com cálculo

Answer 1

Como sugere o enunciado, vamos tratar o crescimento como uma PG.

Dessa forma teremos a população do ano 2000 sendo o 1º termo (a₁), a população de 2010 será o 11º termo (a₁₁) e a de 2020, o 21° termo (a₂₁).

Como temos dois termos dessa progressão e não temos a raiz (q), vamos utilizar a relação do termo geral da PG para dois termos quaisquer:

$\boxed{a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}\\\\\\a_{11}~=~a_1\cdot q^{11-1}\\\\\\30.000~=~20.000\cdot q^{10}\\\\\\q^{10}~=~\dfrac{30.000}{20.000}\\\\\\\boxed{q^{10}~=~\dfrac{3}{2}}$

Perceba que, pra calcular essa equação exponencial, precisaríamos de calculadora, entretanto não será necessário resolve-la.

Vamos utilizar, novamente, a relação do termo geral, mas agora para os termos 11 e 21:

$a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}\\\\\\a_{21}~=~a_{11}\cdot q^{21-11}\\\\\\a_{21}~=~30.000\cdot q^{10}\\\\\\Perceba~que~q^{10}~foi~o~que~calculamos~antes,~logo:\\\\\\a_{21}~=~30.000\cdot \dfrac{3}{2}\\\\\\a_{21}~=~\dfrac{90.000}{2}\\\\\\\boxed{a_{21}~=~45.000}~~~\Rightarrow~Letra~D\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$