Question

Uma cidade de 38000 habitantes foi acometida por uma epidemia de gripe causada por um vírus contagioso. A velocidade (V) de contaminação da população da cidade foi calculada pela função V= kx× (38000-x), sendo k um número real positivo e o x o número de pessoas contaminadas. Quando a velocidade de contaminação atingiu o eu valor máximo, o número de pessoas conta minadas era de:

Answer 1

Pelo enunciado, a velocidade de contaminação em função do número de pessoas contaminadas é:

$V(x)=kx\times(38000-x)\\\\ V(x)=-kx^2+38000kx$

Como k é um número real positivo, a equação acima é um polinômio do segundo grau com coeficiente líder negativo (-k). Logo, seu gráfico é representado por uma parábola com a concavidade voltada para baixo e, portanto, apresenta um ponto de máximo.

O ponto de máximo da parábola é o seu vértice. Sua ordenada (coordenada y) representa o valor máximo que a função (no caso, a velocidade de contaminação) pode assumir. Sua abcissa (coordenada x) representa o número de pessoas que estavam contaminadas quando a velocidade de contaminação assumiu seu valor máximo, que é justamente o que queremos calcular.

Sabemos que numa função da forma:

$f(x)=ax^2+bx+c$

A coordenada $x$ do vértice ($x_V$) é dada por:

$x_V =-\dfrac{b}{2a}$

Comparando com a função V(x) que vimos, temos que $a=-k$, $b=38000k$ e $c=0$. Substituindo no cálculo do x do vértice:

$x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{38000k}{2\cdot(-k)}\\\\ x_V=-\dfrac{38000k}{-2k}=\dfrac{38000k}{2k}=\dfrac{38000}{2}\\\\\ \boxed{x_V=19000~\text{pessoas}}$

Assim, a velocidade de contaminação atingiu seu valor máximo quando havia 19.000 pessoas contaminadas.