Question

Uma cidade de 10 mil habitantes tem uma taxa de crescimento populacional de 12% ao ano. Em quantos anos a população dessa cidade duplicará?
(Dados: log 2 na base 10 é aproximadamente 0,30 e log 1,12 na base 10 é aproximadamente 0,05)

Answer 1

A população sempre aumenta 12% ao ano, ok? Em 1 ano ela é: 10000 . 1,12 = 11200, em 2 anos, 10000.(1,12).(1,12) = 12544.

Logo, em n anos temos:

$P(t)=10000.(1,12)^t$

Queremos o dobro da população, ou seja, 20000 habitantes. Temos que P(t) = 20000, só falta descobrir "t"

$20000=10000.(1,12)^t\\ \\ (1,12)^t = \dfrac{20000}{10000}\\ \\ \\ (1,12)^t = 2$

Agora tiramos log dos dois lados!

$log(1,12)^t=log2\\ \\ t.log(1,12) = log2$

Agora jogamos os dados do enunciado:

$t.0,05 =0,3 \\ \\ t = \dfrac{0,3}{0,05}\\ \\ \boxed{t = 6 \ anos}$

Note que o enunciado aproximou os valores, logo, o valor não é exatamente 6, mas bem próximo dele.

Bons estudos!