Question

uma chapa de zinco (α zn = 26x10∧-6) retangular tem 60cm de comprimento e 25cm de largura à temperatura de 20°C. supondo que a chapa foi aquecida até 120°C, calcule a área final da chapa

Answer 1

A área final da chapa de zinco é de 1507,8 cm².

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Cálculo

Em termos matemáticos, a dilatação superficial (variação de área) é equivalente ao produto da área inicial pelo coeficiente de dilatação superficial pela variação de temperatura, tal como a equação abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta S = S_0 \cdot \huge \beta \cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta S \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ \acute{a}rea ~(em ~ m^2 ~ ou ~ cm^2)$

$\large \sf S_0 \Rightarrow \acute{a}rea ~ inicial ~ (em ~ m^2 ~ ou ~ cm^2)$

$\sf \Large \beta ~ \large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ superficial ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Aplicação

Calculando a dilatação superficial

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta S = \textsf{? cm}^2 \\\sf S_0 = 60~cm \cdot 25 ~cm = \textsf{1500 cm}^2 \\\sf \huge \beta \Large = 2 \cdot \Huge \alpha \Large = 2 \cdot 26 \cdot 10^\textsf{-6} ~ ^\circ C^\textsf{-1} = 52 \cdot 10^\textsf{-6} ~ ^\circ C^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial}=120 - 20 = 100 \; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf \Delta S = 1500 \left[cm^2\right] \cdot 52 \cdot 10^\textsf{-6} \left[^\circ C^\textsf{-1}\right] \cdot 100 \left[^\circ C\right]$

$\Large \sf \Delta S = 7800000 \cdot 10^\textsf{-6} \left[cm^2\right] \cdot \left[\dfrac{1}{~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\! ~\! ^\circ C~}\right] \cdot ~\!\diagup\!\!\!\!\!\!\! \left[^\circ C\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta S = \textsf{7,8} \left[cm^2\right] }}$

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Calculando a área final

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta S = \textsf{7,8 cm}^2 \\ \sf S_F = \textsf{? cm}^2 \\ \sf S_0 = \textsf{1500 cm}^2 \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf \textsf{7,8} \left[cm^2\right] = S_F -1500 \left[cm^2\right]$

$\Large \sf S_F = 1500 \left[cm^2\right] +\textsf{7,8} \left[cm^2\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf S_F = \textsf{1507,8} \left[cm^2\right] }}$

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