Question

Uma chapa de zinco e outra de ferro tem areas respectivamente iguais a 40 cm^2 a 40,4 cm^2 a 10 *c . Determine a temperatura em que terao areas iguais ?

Answer 1

Olá, este problema é de dilatação superficial. No problema está faltando os coeficientes de dilatação superficial de cada material, Zinco e Ferro. Mas sem problemas, é só pegarmos o coeficiente de dilatação linear de cada material e multiplicar por 2, desiginando por $\alpha$ o coeficiente de dilatação linear, β o de dilatação superficial e γ o de dilatação volumétrica e lembrando que β=2$\alpha$ e γ=3$\alpha$ (essa demosntração é muuuuito daora, pesquise!).

Primeiro vamos equacionar a dilatação de cada placa separadamente, só depois vamos iguala-las pra achar a temperatura que o problema pede.

Para o Zinco

De:

$\Delta S=2\alpha \cdot S_{0} \cdot \Delta T$ \\

$\Delta S = \beta \cdot S_{0} \cdot (T_{final} - T_{inicial})$

O $\alpha$ do Zinco = $26,3 \cdot 10^{-6}$

$\Delta S_{zinco} = 52,6 \cdot 10^{-6} \cdot 40 \cdot (10 - T_{final})$

$\Delta S_{zinco} = 2.104 \cdot 10^{-6} \cdot (10 - T_{final})$$\Delta S_{zinco} = 2.104 \cdot 10^{-5}- 2.104 \cdot 10^{-6} T_{final}$

Agora, a mesma coisa para o Ferro:

$\alpha$ = $12 \cdot 10^{-6}$

$\Delta S_{Ferro} = 24 \cdot 10^{-6} \cdot 40,4 \cdot (10- T_{final})$

$\Delta S_{Ferro} = 9.696 \cdot 10^{-5} - 9.696 \cdot 10^{-6}T_{final}$

Agora igualando:

$\Delta S_{zinco} = \Delta S_{ferro}$

$2.104 \cdot 10^{-5} - 2.104 \cdot 10^{-6}T_{final} \:\: = \:\: 9.696 \cdot 10^{-5} - 9.696 \cdot 10^{-6}T_{final}$

$-7.592 \cdot 10^{-5} + 7.592 \cdot 10^{-6}T_{final} \:\: = \:\: 0$

$T_{final} \:\: = \:\: \dfrac{7.592 \cdot 10^{-5}}{7.592 \cdot 10^{-6}}$

$T_{final} = 10$ Graus Celsius.

OBS.: Mil Desculpas.. Esse calculo que fiz não é para a temperatura necessária para que as placas tenham áreas iguais. Esse cálculo na verdade é para a temperatura de equilíbrio quando as duas placas são colocadas juntas(em contato).

ATENÇÃO: O cálculo correto seria considerando $S_{final \: do \: Zinco} \:\: = \:\: S_{final \: do \: Ferro}$

Para isso vamos ter de calcular $S_{final}$ de cada um:

De: $\Delta S \: = \: \beta \cdot S_{0} \cdot \Delta T$

Abrindo temos:

$(L_{final}-L_{inicial}) \: = \: \beta \cdot S_{0} \cdot (T_{final}-T_{inicial})$

Para o Zinco:

$(L_{final} - 40) \: = \: 52.6 \cdot 10^{-6} \cdot 40 \cdot (10-T_{final})$

$(L_{final \: do \: Zinco} - 40) \: = \: 2.104 \cdot 10^{-6} \cdot (10 - T_{final})$

$L_{final \: do \: Zinco} \: = \: 21.04 - 2.104 \cdot T_{final}$

$21.04 - 2.104 \cdot T_{final} - 40$

$L_{final \: do \: Zinco} \: = \: -18.936 - 2.104 \cdot T_{final}$

Para o Ferro(a mesmíssima coisa):

$(L_{final} - 40.4) \: =\: 24 \cdot 10^{-6} \cdot 40.4 \cdot (10-T_{final})$

$L_{final} \: =\: 9.696 \cdot 10^{-6} \cdot 9.696 \cdot T_{final} -40.4$

$L_{final \: do \: Ferro} \: = \: -30.704 - 969.6 \cdot T{final}$

Igualando:

$L_{final \: do \: Zinco} \: = \: -18.936 \cdot 10^{-6} - 2.104 \cdot 10^{-6}\cdot T_{final} \: =\: L_{final \: do \: Ferro} \: = \: -30.704 \cdot 10^{-6}-969.6 \cdot 10^{-6}T_{final}$

$T_{final} \: = \: \dfrac{11.768 \cdot 10^{-6}}{967.5 \cdot 10^{-6}} \: \approx \: 1.216 \cdot 10^{-2}$ Graus Celsius