Question

Uma certa palavra possui 20 permutações, Sabe- se que a tal palavra 2 letras distintas e um certo número de letras A. Quantas letras possui a palavra?

Answer 1

Resposta:

$\textsf{5 letras}$

Explicação passo-a-passo:

$\sf P_{(x + 2)}^x = \dfrac{(x + 2)!}{x!}$

$\sf \dfrac{(x + 2)!}{x!} = 20$

$\sf \dfrac{(x + 2).(x + 1).\not x!}{\not x!} = 20$

$\sf(x + 2).(x + 1) = 20$

$\sf x^2 + 3x + 2 = 20$

$\sf x^2 + 3x + 2 - 20 = 0$

$\sf x^2 + 3x - 18 = 0$

$\sf \Delta = b^2 - 4.a.c$

$\sf \Delta = 3^2 - 4.1.(-18)$

$\sf \Delta = 9 + 72$

$\sf \Delta = 81$

$\sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\sf x = \dfrac{-3 + \sqrt{81}}{2.1} = \dfrac{-3 + 9}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

$\boxed{\boxed{\sf x = 3}} \leftarrow \textsf{quantidade de letras A}$

$\boxed{\boxed{\sf x + 2 = 5}} \leftarrow \textsf{a palavra possui 5 letras}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf \dfrac{L!}{(L-2)!}=20$

$\sf \dfrac{L\cdot(L-1)\cdot(L-2)!}{(L-2)!}=20$

$\sf L\cdot(L-1)=20$

$\sf L^2-L-20=0$

$\sf \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)$

$\sf \Delta=1+80$

$\sf \Delta=81$

$\sf L=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm9}{2}$

$\sf L'=\dfrac{1+9}{2}~\Rightarrow~L'=\dfrac{10}{2}~\Rightarrow~L'=5$

$\sf L"=\dfrac{1-9}{2}~\Rightarrow~L"=\dfrac{-8}{2}~\Rightarrow~L"=-4$ (não serve)

Logo, L = 5

A palavra possui 5 letras