Question

Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo está colocada numa reserva de proteção. Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por p,onde
p=100 . (t²+5t+25)/(t²+25) . Após quantos anos a população é máxima?

Answer 1

A população será máxima após 5 anos.

Para encontrar o valor máximo de uma função, deve-se derivar a função e igualá-la a zero. Para derivar p, devemos utilizar a regra do polinômio e a regra do quociente. Sendo f(t) = 100.(t² + 5t + 25) e g(t) = t² + 25, temos:

p' = [f'(t).g(t) - f(t).g'(t)]/g(t)²

Das derivadas de f e g, temos:

f'(t) = 100(2t + 5) = 200t + 500

g'(t) = 2t

Substituindo:

p' = [(200t + 500).(t² + 25) - 100(t² + 5t + 25)2t]/(t² + 25)²

Igualando a zero, temos:

(200t + 500).(t² + 25) - 100(t² + 5t + 25)2t = 0

200t³ + 5000t + 500t² + 12500 - 200t³ - 1000t² - 5000t = 0

500t² = 12500

t² = 12500/500

t² = 25

t = 5 anos