Question

Uma cavidade de corpo negro apresenta um valor λmax = 6500 Å a uma dada temperatura T. Qual será λmax em Å (angstrom) se a temperatura da cavidade for aumentada de forma que a taxa de emissão de radiação espectral seja duplicada?


Dado: 1 Å =1x10-10m; 1 µm=1x10-6m; Const. de Proporcionalidade de Wien K=2,897x10-3m.


a. 5119,63 Å


b. 5658,61 Å


c. 13000 Å


d. 4456,9 Å


e. 10190 Å

Resposta correta B

Answer 1

O comprimento de onda do máximo de emissão à nova temperatura é de b) 5658,61 Angstrom.

Temperatura em que a emissão espectral é duplicada

Um comprimento de onda de 6500 angstrom equivale a 650 nm, aplicando a lei de Wien podemos achar a temperatura do corpo negro:

$T=\frac{0,002897}{\lambda_{max}}=\frac{0,002897m.K}{6,5\times 10^{-7}m}=4457K$

A taxa de emissão espectral a um determinado comprimento de onda é dada pela fórmula de Planck:

$S_{\lambda}=\frac{8\pi.hc}{\lambda^5(e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1)}$

Temos a temperatura em que o máximo é de 650 nm, se desejarmos que a taxa de emissão espectral seja duplicada a esse comprimento de onda, podemos determinar uma temperatura T2 em que isso ocorre:

$\frac{\frac{8\pi.hc}{\lambda^5(e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}-1)}}{\frac{8\pi.hc}{\lambda^5(e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1)}}=2\\\\\\\frac{\frac{1}{(e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}-1)}}{\frac{1}{(e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1)}}=2\\\\\\\frac{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}{e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}-1}=2$

A partir dessa expressão podemos determinar a temperatura T2 e calcular seu valor:

$e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1=2(e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}-1)\\\\e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1=2e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}-2\\\\\frac{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}+1}{2}=e^{\frac{hc}{kT_2\lambda}}\\\\\frac{hc}{kT_2\lambda}=ln(\frac{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}+1}{2})\\\\T_2=\frac{hc}{k\lambda.ln(\frac{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}+1}{2})}$

Substituindo os valores tem-se:

$T_2=\frac{6,62\times 10^{-34}Js.3\times 10^8\frac{m}{s}}{1,38\times10^{-23}\frac{J}{K}.6,5\times 10^{-7}m.ln(\frac{e^{\frac{6,62\times 10^{-34}Js.3\times 10^8\frac{m}{s}}{1,38\times 10^{-23}\frac{J}{K}.4457K.6,5\times 10^{-7}m}}+1}{2})}\\\\T_2=5171K$

Comprimento de onda do máximo à nova temperatura

Agora, tendo a temperatura em que a taxa de emissão espectral é duplicada, podemos aplicar a lei de Wien para calcular o comprimento de onda do máximo:

$\lambda_{max}=\frac{0,002897m.K}{T}=\frac{0,002897m.K}{5171K}\\\\\lambda_{max}=5,603\times 10^{-7}m=5603A$

A opção mais perto desse valor é B) 5658 A.

Saiba mais sobre a emissão do corpo negro em https://brainly.com.br/tarefa/1625008

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