Question

Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x² + y² ≤ 9 de modo que a densidade de carga em ( x,y ) seja σ( x,y ) = x + y + x² + y². Sabendo disso, determine a carga total no disco, medida em coulombs por metro quadrado.

Answer 1

Resposta:

(81/2)π C/m2

Explicação passo a passo:

x2 + y2 ≤ 9

x2 + y2 ≤ r2

r2 = 9

r2 = 32

r = 3

σ(x,y) = x + x2 + y2

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ ϴ ≤ 2π

Carga total

∬_R▒〖σ(x,y)  dA〗

∬_R▒〖(x+x^2+y^2 )  dA〗

x = r cos ϴ

y = r sen ϴ

dA = rdrdϴ

∫_0^2π▒∫_0^3▒(r cos ϴ+(r cos ϴ)^2+(〖r sen ϴ)〗^2 )  r.dr.dϴ

∫_0^3▒(r cos ϴ+(r cos ϴ)^2+(〖r sen ϴ)〗^2 ) r.dr

(r cos ϴ)^2+(〖r sen ϴ)〗^2 = r^2  cos^2⁡〖ϴ+〗  r^2 sen^2 ϴ

r2(cos2 ϴ + sen2 ϴ)

cos2 ϴ + sen2 ϴ = 1

r2(1) = r2

∫_0^3▒(r cos ϴ+r^2 ) r.dr

∫_0^3▒(r^2  cos ϴ+r^3 ) dr

(r3/3)cos ϴ |■(3@0) + (r4/4) |■(3@0) = 9.cos ϴ + 81/4

∫_0^2π▒〖(9.cos ϴ +81/4)〗 dϴ

9.sen ϴ |■(2π@0) + (81/4).ϴ |■(2π@0) = 9.sen 2π- 9.sen 0 + (81/4).2π - (81/4).0

= 9.0 – 9.0 + (81/2)π – 0

= (81/2)π C/m2