Question

uma carga elétrica é distribuida sobre um disco X²+Y²≤9 de modo que a densidade de cargaem (x,y) seja o(x,y)= X+X²+Y² sabendo disso determine a carga total no disco medida em coulombs por metro quadrado. Não se esqueça de mostrar todos os calculos

Answer 1

Olá romul, para resolver esse problema de cargas elétricas devemos fazer uso de integrais duplas.

• Integrais duplas são uma maneira de integrar em uma região bidimensional.

Se quisermos calcular a carga total de nossa carga elétrica conhecendo a função densidade e o disco onde ela está distribuída, devemos usar a seguinte fórmula:

$\sf \displaystyle \large Q= \iint_R \delta (x,y)dA$

Problema:

uma carga elétrica é distribuida sobre um disco x²+y²≤9 de modo que a densidade de cargaem (x,y) seja o(x,y)= x+x²+y² sabendo disso determine a carga total no disco medida em coulombs por metro quadrado.

• Vamos substituir o valor da nossa função densidade de carga na integral já mostrada:

$\sf \displaystyle \large Q= \iint_R (x+x^2+y^2)dA$

Para encontrar o valor de "R" é necessário encontrar o raio da circunferência, esse raio é expresso principalmente pela fórmula:

$\sf \displaystyle \large x^2 + y^2 = r^2$

A função raio é igual a x²+y²≤9 onde também pode ser igual a x²+y²=9 mas r não é igual a 9, "r" é igual a raiz quadrada de 9 que não seria nada mais que 3 então o raio do círculo é igual a:

$\sf \displaystyle \large x^2 + y^2 = 3^2$

Agora se conseguirmos encontrar "R" para isso devemos usar as coordenadas polares e o eixo polar, usaremos as coordenadas polares porque é a que melhor se adapta aos círculos.

Se fizermos o gráfico da função do raio, podemos dizer que o círculo é completo e pode girar em torno de 360°, que em radianos é igual a "2 π".

Então a coordenada "θ" é definida pelo seguinte limite: 0≤θ≤2π.

Se quisermos usar a integral dupla, devemos encontrar a outra coordenada.

Como o raio está dentro da origem podemos dizer o que é constante e dizer que a outra coordenada está nos limites: 0≤r≤3.

• Essas coordenadas são iguais a "R" então substituímos na integral dupla e você obterá:

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\int_0^3 (x+x^2+y^2)rdrd\theta$

Como nossa função está em coordenadas cartesianas e não em coordenadas polares, a integração não será possível a menos que mudemos a função para uma de coordenadas polares, para isso usaremos as seguintes coordenadas polares:

$~~~~\sf \displaystyle \begin{cases}x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \\ x^2+y^2 = r^2\end{cases}$

• Substituímos conforme indicado pelas coordenadas polares:

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\int_0^3r\cos \theta +r^2drd\theta$

• Como temos uma integral dupla, usaremos o método de Fubini para calcular o valor da integral integrando uma a uma:

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\left[\int_0^3 r\cos \theta +r^2rdr\right]d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\left[\int_0^3 r\cos \theta +r^3dr\right]d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\left[\int_0^3 \dfrac{r^{1+1}{1+1}\cos \theta +\dfrac{r^{3+1}}{3+1}dr\right]d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\left[ \dfrac{r^2}{2}\cos \theta +\dfrac{r^{4}}{4}\right]_0^3d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q=\int_0^{2\pi}\left[ \dfrac{3^2}{2}\cos \theta +\dfrac{3^{4}}{4}-\cancel{0\cos \theta +\dfrac{0^4}{4}}^0\right]d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q=\int_0^{2\pi}\dfrac{9}{2}\cos \theta +\dfrac{81}{4}d\theta$

• Agora resolvemos nossa última integral e concluímos que a carga é igual a:

$\sf \displaystyle \large Q= \int_0^{2\pi}\dfrac{9}{2}\sin \theta +\dfrac{81}{4}\theta d\theta$

$\sf \displaystyle \large Q=\left[ \large \dfrac{9}{2}\sin \theta +\dfrac{81}{4}\theta \right]^{2\pi}_{0}$

$\sf \displaystyle \large Q= \dfrac{9}{2}\sin (2\pi) +\dfrac{81}{4}\cdot 2\pi - \cancel{\dfrac{9}{2}\sin(0)+\dfrac{81}{4}\cdot 0}^0$

$\sf \displaystyle \large Q= \dfrac{9}{2}\cdot 0 +\dfrac{81}{\not 4}\cdot \not 2\pi$

$\sf \displaystyle \large Q=\dfrac{81}{2}\pi$

$\boxed{\boxed{\sf \displaystyle \large Q=\dfrac{81}{2}\pi~~~ C/m^2}}$

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