Question

Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco X² + Y² ≤ 4 de modo que a densidade da carga (X,Y) seja θ (X,Y) = X + Y + X² +Y². Sabendo disso determine a carga total no disco, medida em coulombs por metro quadrado.

Answer 1

A carga total no disco é igual a 8π C/m².

A carga total no disco é dada pela integral dupla a seguir:

$Q = \int \int {\sigma(x,y)} \, dA$

A região de integração D é o disco dado por x² + y² ≤ 4 que pode ser escrito em coordenadas polares como 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Temos então:

$Q = \int \int {(x+y+x^2+y^2)} \, dA$

Em coordenadas polares, temos que:

x = r.cosθ

y = r.senθ

A integral fica:

$Q = \int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^2_0 {r.cos\theta + r.sen\theta + (r.cos\theta)^2 + (r.sen\theta})^2r \, dr d\theta\\\\Q = \int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^2_0 {(r.cos\theta + r.sen\theta + r^2(cos^2\theta + sen^2\theta}))r \, dr d\theta\\\\Q = \int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^2_0 {r^2.cos\theta + r^2.sen\theta + r^3} \, dr d\theta$

Resolvendo, temos:

$Q = \int\limits^{2\pi}_0 {\left(\dfrac{r^3}{3}cos\theta + \dfrac{r^3}{3}sen\theta + \dfrac{r^4}{4}}\right)|_0^2 \, d\theta$

$Q = \int\limits^{2\pi}_0 {\left(\dfrac{8}{3}cos\theta + \dfrac{8}{3}sen\theta + 4}\right) \, d\theta$

$Q = \left(\dfrac{8}{3}sen\theta - \dfrac{8}{3}cos\theta + 4\theta}\right)|_0^{2\pi}\\\\Q = \left(-\dfrac{8}{3} + 8\pi\right) - \left(-\dfrac{8}{3}\right)\\Q = 8\pi$