Question

uma campanha entre micro empresas para ajudar um Hospital arrecadou 16.500,00
A primeira microempresa menor entre elas doou 350,00 a segunda doou 50,00 a mais que a primeira e cada umas das micro empresas doou 50,00 a mais que a anterior ..Quantas empresas participaram da campanha?

Answer 1

a1 = 350
r = 50
Sn = 16500

16500 = [(350 + an) *n] /2
(350 + an) *n = 33000
350n + an *n = 33000

an = 350 + (n-1)*50
an = 350 + 50n - 50
an = 50n + 300

350n + n(50n + 300) = 33000
350n + 50n² + 300n = 33000
50n² + 650n - 33000 = 0
Divide por 50
n² + 13n - 660 = 0
Δ = 169 + 2640
Δ = 2809

n = (-13 +- 53) /2
n' = -33 --> não convém
n'' = 20

Vinte empresas participaram da campanha. 

Answer 2

Termo geral

an = a1 + ( n -1) . r
an = 350 + ( n -1) . 50
an = 350 + 50n - 50
an = 300 + 50n

====

Formula da soma dos termos: 

Sn = ( a1 + an ) . n /  2

Substituir os valores dados

Sn = ( a1 + an ) . n /  2
16500  = (350 + 300 + 50n) . n / 2
16500 = (650 + 50n).n / 2
16500 = 650n + 50n² / 2

O que esta dividindo passa multiplicado do outro lado da igualdade;

16500 . 2 = 650n + 50n²
33000 = 650n + 50n²
-50n² - 650n + 33000 = 0 .(-1)
50n² + 650n - 33000 = 0 

Podemos dividir por 50, para facilitar os cálculos, não altera o resultado;

n² + 13n - 660 = 0

Por fatoração:

(n - 20).(n + 33)

Igualar os termos a zero:

n - 20 = 0
n' = 20

n + 33 = 0
n'' = -33  (Como é negativo não pode ser usado)

===
n = 20

Então o total de empresas: 20