Question

Uma caixa sem tampa será feita apenas removendo-se um quadrado deUma caixa sem tampa será feita apenas
removendo-se um quadrado de tamanho x dos cantos de uma peca de papelão, com
medidas de 15cm por 60cm.

Mostre
que o volume de caixa e dado por v(x) = x(60-2x)(15-2x).Determine
o valor de x, de modo que o volume da caixa seja de no menimo 450cm³

Answer 1

Mostre que o volume de caixa e dado por v(x) = x(60-2x)(15-2x)

certo..partindo do principio que
 $V=L*C*A$

V=  volume
L = Largura
C= comprimento
A = altura 
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no enunciado diz que  ela foi feita com 
"um quadrado de tamanho x dos cantos de uma peca de papelão, com
medidas de 15cm por 60cm."

ou seja ela tinha um retangulo de 15 por 60
em cada canto desse retangulo ela cortou um quadrado de tamanho x

então ela cortara dois quadrados na parte que mede 15cm
e ela cortara dois quadrados na parte que mede 60 cm

com isso o tamanho da do retangulo mudou para (15-2x)
e o outro lado mudou para (60-2x)

quando ela dobrar esses lados que foram cortados para formar uma caixa
essa caixa terá uma altura de tamanho x

(vou fazer um desenho para ficar mais facil de voce entender rsrs
a parte em marrom é a parte que ele ira dobrar para fazer a caixa )
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portanto o volume dessa caixa vai depender do tamanho que ela cortar esse quadrado 

então podemos dizer que o  volume está em função de x

$V=L*C*A$

L = (15-2x)
C = (60-2x)
A = x
aplicando isso temos
$V(x)= (15-2x)*(60-2x)*x$

analisando o dominio dessa função como é uma medida ela tem q ter valor positivo
15-2x >0
-2x >-15
x< -15/-2
x< 15/2

60-2x >0
-2x >-60
x < 30

x tambem não pode ser 0 se não nao conseguiremos fazer a caixa

então   
x tem que ser > 0 
e x tem que ser < 7,5   (15/2)
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.Determine o valor de x, de modo que o volume da caixa seja de no mínimo 450cm³

resolvendo essa multiplicação na função do volume  temos
$V(x)=x*((60-2x)*(15-2x)\\\\V(x)=x*(60*15)+(60*-2x)+(-2x*15)+(-2x*-2x))\\\\V(x)=x*((900)+(-120x)+(-30x)+(4x^2)\\\\V(x)=x*(900-120x-30x+4x^2)\\\\V(x)=x*(900-150x+4x^2) \\\\V(x)=900x-150x^2+4x^3\\\\\\V(x)=4x^3-150x^2+900x$

como o volume tem que ser no minimo 450
então

$4x^3-150x^2+900x=450\\\\4x^3-150x^2+900x-450=0$


derivando a equação temos 
$12x^2-300x+900$

sabemos que as raízes estão aproximadamente no intervalo ]0 e 7,5]

como é uma equação do terceiro grau..ela terá 3 raízes
e como o coeficiente a é positivo
no ponto da primeira raiz a funçao estará crescente e isso é quando o volume é =450
no intervalo da primeira raíz ate a segunda raíz o volume é >450
depois a funçao começa a cair e na segunda raíz ela será 450
a partir da i no intervalo da segunda raíz até a terceira o volume será < 450
depois ela volta a subir novamente.

para calcular o valor aproximado da raíz e saber este intervalo que o volume é ≥450

vou utilizar o metodo newton raphson
$x_1= x-\frac{f(x)}{f'(x)} \\\\x_2=x_1- \frac{f(x_1)}{f'*(x_1)}$

então vou chutar que a raíz é 1 
x=1

$f(1) = 4*1^3-150*1^2+900*1-450= 304$

$f'(1)=12*1^2-300*1+900 =612$

$X_1= 1-\frac{304}{601} =0,5326$
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agora repetindo o processo substituindo x por 0.5326

agora pegue a sua calculadora kk
f(0,5326) = -12,6050
f'(0,5326) = 743,6239

$x_2= 0,5326- \frac{-12,6050}{743,6239} =0,5495$

aproximadamente 0,55
esse é o tamanho minimo que o quadrado ser cortado 0,55cm
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agora vou achar o tamanho maximo porque sabemos que não pode passar de 7,5
então vou chutar que seja 7

$f(7) = 4*7^3-150*7^2+900*7-450 = -128$

$f'(7)= 12*7^2-300*7+900 = -612$

$x_1=7- \frac{-128}{-612} = 6,7984$
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f(6,7984) = - 7,3359

f'(6.7984) = -584,9010

$x_2=6,7984- \frac{-7,3359}{-584,9010} \\\\x_2=6,7984- \frac{7,3359}{584,9010} \\\\x_2=6,7858$

então 6,7858 é o tamanho maximo para o recortar o quadrado e o volume ser 450

arredondando para 6,7 porque como é um resultado aproximado pode ser que substituindo por 6,8 o volume seja menor que 450

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portanto o valor de x é qualquer numero entre 0,55 e 6,7 cm

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obs:  a terceira raíz nao precisa calcular porque com certeza irá dar um resultado maior que 7,5..e como vimos no domínio x nao pode ser maior que 7,5