Question

Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina, de 18 centí-

metros por 18 centímetros, removendo-se um pequeno quadrado de cada canto e dobrando-se as abas

resultantes para formar os lados.

(a) Expresse o volume V da caixa em função do lado x dos quadrados removidos.

(b) Qual o domínio e a imagem de V (x).

(c) Qual deve ser o comprimento do lado do quadrado retirado para que a caixa tenha volume

máximo?

Answer 1

Retirando os quadrados de lados x, temos uma caixa com dimensões: 18 - 2x, 18 - 2x e x.

Assim:

a) O volume será igual ao produto das dimensões.

Logo:

V = (18 - 2x)².x

V = (324 - 72x + 4x²).x

V = 324x - 72x² + 4x³

b) Como temos uma função do terceiro grau, então o Domínio e a Imagem são iguais a todos os Reais.

c) Para calcular o valor de x para que se tenha volume máximo, temos que derivar a função V = 324x - 72x² + 4x³.

Derivando:

V' = 324 - 144x + 12x².

Igualando a 0 obtemos uma equação do segundo grau. Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-144)² - 4.12.324

Δ = 20736 - 15552

Δ = 5184

$x =\frac{144+-\sqrt{5184}}{2.12}$

$x =\frac{144+-72}{24}$

$x' =\frac{144+72}{24} = 9$

$x'' =\frac{144-72}{24}=3$

Se x = 9, então o volume será igual a 0.

Se x = 3, então o volume será igual a 432.

Portanto, o comprimento do quadrado retirado deverá ser igual a 3 cm.