Question

Uma caixa sem tampa é construída a partir de um pedaço retangular de papelão, de dimensões 8 dm x 5 dm, eliminando quatro quadrados congruentes dos seus vértices. Determine o volume máximo que pode ser obtido a partir dessa placa de papelão.

Answer 1

Tá bem mal desenhada mas a folha depois de cortados os cantos ficaria assim, onde os 'dentes' seriam h x h e o resto teria comprimento L1 e L2. Como as laterais da folha medem 8m e 5m, ficaria: 

8 = 2h + L1 => L1 = 8 - 2h 
5 = 2h + L2 => L2 = 5 - 2h 

O volume da caixa ficaria Vol = h.L1.L2 

Teríamos Vol = h(8 - 2h).(5 - 2h) = h(40 - 26h + 4h²) = 40h - 26h² + 4h³ 

Como queremos o máximo volume, devemos derivar essa equação em h. Teremos: 

12h² - 52h + 40 

Se resolver isso por Báskara, obterá h = 1 ou h = 3,33333 

Para h = 1 o volume seria (8 - 2.1).(5 - 2.1).1 = 6 . 3 = 18 m³ 
Para h = 3,3333 o volume seria (8 - 2.3,3333).(5 - 2.3,3333).3,3333 = 1,3333 . (-1,6666) . 3,3333 = - 7,4074... m³ 

Como volume negativo não existe, temos que usar h = 1 m.