Question

uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m^2 de papelão. Determine as dimensões desta caixa de modo que o seu volume seja máximo.Qual é o seu volume máximo em m^3?

Answer 1

Sejam x = o número do comprimento do lado do quadrado 
V = o número cúbicos do volume da caixa 

O volume da caixa é o produto de três dimensões, e assim V é uma função de x, dada por: 
V(x) = x(12-2x)(12-2x) 
V(x) = 144x -48x²+4x^3 
V'(x)=144 - 96x+12x² 

Estabelecendo que 144 - 96x+12x²=0, vamos obter x1=6 e x=2 

Os números críticos de V são 2 e 6, ambos no intervalo fechado [0,6]. O valor máximo absoluto em [0,6] deve ocorrer num número crítico ou num dos extremos do intervalo. Com V(0)=0 e V(6)=0, enquanto V(2)=128, conclui-se que o valor máxino absoluto de V em [0,6] é 128 e ocorre em 2. 
Portanto, o máximo volume possível é de a 128 e este óbtido quando o comprimento do lado do quadrado cortado for de 2...

Answer 2

O volume máximo da caixa em m³ será:

$V_{max} = \left(\dfrac{12}{5}\right)^{3/2}$

Na resolução devemos usar como incógnitas as 3 dimensões do paralelepípedo, que é a caixa, chamando de a, b e c (largura, altura e profundidade) e depois utilizar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para achar o valor máximo do volume.

Como calcular o volume da caixa?

1. Primeiro, deve-se observar que a caixa tem o formato de um paralelepípedo.
2. A seguir, relembrar que o volume de um paralelepípedo é dado por V = abc, onde a, b e c são as dimensões do mesmo.
3. Então, chamamos arbitrariamente as dimensões da caixa de a, b e c ainda a serem descobertos.

Como encontrar o volume máximo da caixa?

Já sabemos que o volume da caixa é dado por V=abc, então devemos agora utilizar uma desigualdade existente entre a Média Aritmética (MA) e a Média geométrica (MG).

No caso geral, com n termos, temos que:

• MA = $\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$
• MG = $\sqrt[n]{a_1*a_2*\cdots*a_n}$

Desigualdade entre as médias

A desigualdade entre as médias afirma em geral que MA$\geq$MG.

Isto é, $\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1*a_2*\cdots*a_n}$. Com a igualdade ocorrendo apenas quando $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$

No caso da questão, utilizaremos apenas 3 termos, sendo eles a, b e c. Teremos:

$\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3 \geq V$

Ou seja, o valor máximo do volume ocorre quando a=b=c.

Como sabemos que a caixa deve ser feita com 12m² de papelão, temos que a soma das áreas das faces deve ser igual a 12, isto é:

2ab + 2bc + ca = 12.

Nesse caso, 'ca' não é multiplicado por 2 porque a caixa não terá tampa.

Como a=b=c, teremos, substituindo b e c: 5a² = 12 =>a= $\sqrt{12/5}$.

Portanto o volume máximo será:

   $V_{max}=a^2 \Rightarrow V_{max} = \left(\dfrac{12}{5}\right)^{3/2}$.

Veja mais sobre paralelepípedo em: https://brainly.com.br/tarefa/5797475

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