Question

Uma caixa fechada, com base quadrada, deve ter um volume de 250 metro cubicos.O material para a tampa e o fundo da custa 2 reais por metro quadrado, e o material para as laterais custa 1 real por metro quadrado. Expresse o custo de construção da caixa em função do lado de sua base.

Answer 1

Boa tarde!

Dados:

Caixa de volume 250 m³

Tampa e fundo (quadrados): R$ 2,00/m²

Laterais: R$ 1,00/m²

Custo da produção da caixa em função do lado de sua base.

$V(x,h)=250\\V(x,h)=x^2\cdot h\\250=x^2\cdot h\\h=\dfrac{250}{x^2}$

$C(x)=2\cdot\left(2\cdot x^2\right)+1\cdot\left(4\cdot x\cdot h\right)\\C(x)=4x^2+4x\cdot\dfrac{250}{x^2}\\C(x)=4\left(x^2+\dfrac{250}{x}\right)$

Este é o custo de construção da caixa em função do lado (x) de sua base.

De forma a tornar mais interessante, vou deixar o custo mínimo de construção da caixa, em função de x:

$C'(x)=4\cdot\left(2x-\dfrac{250}{x^2}\right)=0\\2x=\dfrac{250}{x^2}\\2x^3=250\\x^3=125\\x=5$

Portanto, para o valor de 5m o custo de produção da caixa é MÍNIMO!

Testando:

$C(5)=4\left(5^2+\dfrac{250}{5}\right)=300$

Para um valor menor:

$C(4)=4\left(4^2+\dfrac{250}{4}\right)=314$

Para um valor maior:

$C(6)=4\left(6^2+\dfrac{250}{6}\right)\approx 310,67$

Para quaisquer outros valores o custo da caixa será maior.

Espero ter ajudado!